Odd Divisors in Staircase Numbers
Die Aussage der Frage lautet, dass sich nur Zahlen mit ungeraden Teilern als Treppenzahlen darstellen lassen. Eine Treppe mit \( n \) Stufen hat insgesamt \( \frac{n(n + 1)}{2} \) Einheiten, da jede Reihe um eine Einheit länger als die vorherige ist und die Anzahl der Steine für jede Stufe \(1, 2, 3, \ldots, n\) beträgt. Um die Fragen a und b zu beantworten, sollten wir untersuchen, was passiert, wenn \( n \) gerade oder ungerade ist.
a) Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler.
Wenn \( n \) ungerade ist, ist \( n+1 \) gerade. Wenn wir sie multiplizieren, erhalten wir \( \frac{n(n + 1)}{2} \). In diesem Ausdruck ist \( n \) ungerade und \( n+1 \) gerade. Da eine Zahl und die direkt darauf folgende Zahl keine gemeinsamen Teiler größer als 1 haben können (außer sich selbst, wenn die Zahl 1 ist), kann der Faktor \( 2 \) nur einen der beiden Faktoren \( n \) oder \( n+1 \) teilen, was in diesem Fall \( n+1 \) ist. Das bedeutet, dass \( n \) unverändert bleibt und da es ungerade ist, hat die Treppe mindestens einen ungeraden Teiler – nämlich \( n \).
b) Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler.
Für den Fall, dass \( n \) gerade ist, ist \( n+1 \) ungerade. Wenn wir diese multiplizieren, bekommen wir wieder \( \frac{n(n + 1)}{2} \). In diesem Fall ist \( n \) gerade und daher durch 2 teilbar, was bedeutet, dass \( n/2 \) eine ganze Zahl ist. \( n+1 \) bleibt unverändert und ist ungerade. Also hat die Treppenzahl, die von einem Produkt einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl stammt, auch einen ungeraden Teiler – nämlich \( n+1 \).
Diese Überlegungen zeigen, dass Treppenzahlen immer mindestens einen ungeraden Teiler haben, egal ob die Anzahl der Stufen gerade oder ungerade ist.
