Example Question - place value system
Here are examples of questions we've helped users solve.
Understanding Arithmetic Operations in Base-5 System
Die Aufgabe hier beschäftigt sich mit Rechnungen im Stellenwertsystem zur Basis 5. Lassen Sie uns die Aufgaben schrittweise lösen. a) Lösen Sie die Aufgaben: (1)₅ + (4)₅; (4)₅ + (3)₅; (10)₅ - (3)₅; (10)₅ - (4)₅; (3)₅ * (3)₅. (1)₅ + (4)₅ ergibt (0)₅, da 1 + 4 = 5 ist, und in einem Basis-5-System bedeutet das, dass wir eine 0 in der Stelle haben und einen Übertrag in die nächste Stelle, also (10)₅. (4)₅ + (3)₅ ergibt (2)₅, da 4 + 3 = 7 ist, und in einem Basis-5-System bedeutet das, dass wir eine 2 in der Stelle haben mit einem Übertrag in die nächste Stelle, also (12)₅. (10)₅ - (3)₅ ist einfach (2)₅, da 10 - 3 = 7 ist und 7 im Basis-5-System als 2 mit einem Übertrag in die nächste Stelle ausgedrückt wird, also (12)₅. (10)₅ - (4)₅ ist (1)₅, da 10 - 4 = 6 ist und 6 im Basis-5-System als 1 mit einem Übertrag in die nächste Stelle ausgedrückt wird, also (11)₅. (3)₅ * (3)₅ ist (4)₅, da 3 * 3 = 9 ist und 9 im Basis-5-System als 4 mit einem Übertrag in die nächste Stelle ausgedrückt wird, also (14)₅. b) Stellen Sie eine Einsplustafel und eine Einmaleinstafel für das 5er-System auf. Die Einsplustafel würde aussehen wie (Auszug): 0 1 2 3 4 1 2 3 4 10 2 3 4 10 11 3 4 10 11 12 4 10 11 12 13 Und die Einmaleinstafel (Auszug): 1 2 3 4 2 4 11 13 3 11 14 22 4 13 22 31 c) Hier sollen nun mehrstellige Zahlen im 5er-System sowohl schriftlich als auch sprachlich addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Dies kann recht umständlich sein und erfordert genaue Kenntnis des Basis-5-Systems und dessen Umrechnung ins Dezimalsystem für jeden Schritt. Falls Sie spezifische Beispiele aus dem Bild benötigen, lassen Sie es mich wissen, und ich werde sie hier ausführen und erklären. d) Schauen Sie noch einmal auf ihre Rechenwege zurück. Wofür könnten Sie die Ergebnisse aus a. nutzen? Wann spielt die Idee des Bündelns, wann die des Entbündelns eine Rolle? Die Ergebnisse aus a) könnten genutzt werden, um die Basis für die Berechnungen in Teil c) zu bilden, da sie grundlegende Rechenoperationen in einem Basis-5-System darstellen. Die Idee des Bündelns spielt eine Rolle, wenn wir mehr als 5 Einheiten einer Stelle haben und diese in eine höhere Stelle umwandeln müssen. Entbündelung wird angewendet, wenn wir eine höhere Stelle in niedrigere Stellen aufteilen müssen, um Subtraktionen oder Divisionen durchführen zu können.
Number Conversion in Base-4 System
Diese Aufgaben beziehen sich auf ein Stellenwertsystem, das dem von Schlämpfen basiert, wo jedes Kind wohl nur 4 Finger je Hand hat. Die Schlämpfe verwenden also ein 4er-System für ihre Zahlen. a. Die Lösung der ersten Teilaufgabe im 4er-System (Basis 4) ist wie folgt: - \( (7)_4 + (6)_4 = (13)_4 = (1 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0)_{10} = (7)_{10} \) - \( (10)_4 + (10)_4 = (20)_4 = (2 \cdot 4^1 + 0 \cdot 4^0)_{10} = (8)_{10} \) - \( (7)_4 \cdot (7)_4 = (49)_4 = (1 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4^1 + 1 \cdot 4^0)_{10} = (33)_{10} \) - \( (7)_4 - (5)_4 = (2)_4 = (2 \cdot 4^0)_{10} = (2)_{10} \) b. Für die zweite Teilaufgabe erfordert die Umwandlung von Zahlen im 4er-System ins Dezimalsystem das Folgende: - \( (352)_4 = (3 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4^1 + 2 \cdot 4^0)_{10} = (48 + 20 + 2)_{10} = (70)_{10} \) - \( (143)_4 = (1 \cdot 4^2 + 4 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0)_{10} = (16 + 16 + 3)_{10} = (35)_{10} \) - Somit ergibt sich für die Subtraktion im Dezimalsystem: \( (70)_{10} - (35)_{10} = (35)_{10} \) - Zurückgerechnet ins 4er-System ist dies \( (203)_4 \), da \( (35)_{10} = (2 \cdot 4^2 + 0 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0)_4 \). c. Schauen wir uns nun einmal die Rechenwege zurück an: - Für die Umrechnung der Ergebnisse ins 4er-System können wir die Division durch 4 verwenden und den Rest jeweils als nächste Ziffer des Ergebnisses interpretieren. - Das Prinzip des Bündelns im 4er-System ist ähnlich wie das im Dezimalsystem, mit dem Unterschied, dass nach jeder vierten Einheit (anstatt nach zehn Einheiten) gebündelt wird. Dies spielt bei der Umwandlung eine Rolle, da jede Stelle im 4er-System für eine Potenz von 4 steht (genauso wie im Dezimalsystem jede Stelle für eine Potenz von 10 steht). - Das Endbündeln spielt eine Rolle, wenn wir die höchste Stelle innerhalb der Zahl erreichen, bei der sich keine weiteren Bündel mehr bilden lassen, da keine höhere Potenz von 4 (im 4er-System) bzw. von 10 (im Dezimalsystem) vorhanden ist.
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