Matrix Operations
لحل السؤال المقدم في الصورة، نحتاج إلى إجراء العمليات الحسابية على المصفوفتين \( A \) و \( B \). المصفوفة \( A \) هي \( \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \) والمصفوفة \( B \) هي \( \begin{bmatrix} 1/2 & 2 \\ -1 & 1/2 \end{bmatrix} \).
a) لإيجاد \( 2A-3B \)، أولاً نحسب \( 2A \):
\[ 2 \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 3 & 2 \times 1 \\ 2 \times 2 & 2 \times 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \]
ثم نحسب \( 3B \):
\[ 3 \times \begin{bmatrix} 1/2 & 2 \\ -1 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 1/2 & 3 \times 2 \\ 3 \times -1 & 3 \times 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & 6 \\ -3 & 1.5 \end{bmatrix} \]
بعد ذلك نجري عملية الطرح:
\[ \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1.5 & 6 \\ -3 & 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 - 1.5 & 2 - 6 \\ 4 - (-3) & 6 - 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4.5 & -4 \\ 7 & 4.5 \end{bmatrix} \]
إذن، \( 2A-3B = \begin{bmatrix} 4.5 & -4 \\ 7 & 4.5 \end{bmatrix} \).
b) لإيجاد \( AB \):
\[ \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1/2 & 2 \\ -1 & 1/2 \end{bmatrix} \]
نحسب كل عنصر في المصفوفة الناتجة عن طريق ضرب الصف في العمود المقابل ثم جمع النتائج:
للعنصر (1,1):
\( (3 \times \frac{1}{2}) + (1 \times -1) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \)
للعنصر (1,2):
\( (3 \times 2) + (1 \times \frac{1}{2}) = 6 + \frac{1}{2} = 6.5 \)
للعنصر (2,1):
\( (2 \times \frac{1}{2}) + (3 \times -1) = 1 - 3 = -2 \)
للعنصر (2,2):
\( (2 \times 2) + (3 \times \frac{1}{2}) = 4 + \frac{3}{2} = 5.5 \)
إذن، \( AB = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 6.5 \\ -2 & 5.5 \end{bmatrix} \).
c) لإيجاد \( A^2-3B \) نحتاج أولا لحساب \( A^2 \):
\[ \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \]
للعنصر (1,1):
\( (3 \times 3) + (1 \times 2) = 9 + 2 = 11 \)
للعنصر (1,2):
\( (3 \times 1) + (1 \times 3) = 3 + 3 = 6 \)
للعنصر (2,1):
\( (2 \times 3) + (3 \times 2) = 6 + 6 = 12 \)
للعنصر (2,2):
\( (2 \times 1) + (3 \times 3) = 2 + 9 = 11 \)
إذن، \( A^2 = \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 12 & 11 \end{bmatrix} \).
وكما سبق وحسبنا \( 3B \)، نستطيع الآن أن نجري الطرح:
\[ \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 12 & 11 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1.5 & 6 \\ -3 & 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 - 1.5 & 6 - 6 \\ 12 - (-3) & 11 - 1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9.5 & 0 \\ 15 & 9.5 \end{bmatrix} \]
إذن، \( A^2-3B = \begin{bmatrix} 9.5 & 0 \\ 15 & 9.5 \end{bmatrix} \).
