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很抱歉,图片中的内容看起来模糊不清,这导致我无法准确辨识图片中的所有文字。然而,根据你的文字描述和图片中可见的内容,我可以猜测这是一个关于Maclaurin级数的问题。 给出函数 \( g(t) = e^{t^3} \) ,我们需要利用 Maclaurin 级数求 \( g^{(21)}(0) \),即函数 \( g(t) = e^{t^3} \) 在 \( t=0 \) 时的第21阶导数。 Maclaurin 级数展开公式为: \[ g(t) = g(0) + g'(0)t + \frac{g''(0)t^2}{2!} + \frac{g'''(0)t^3}{3!} + \cdots + \frac{g^{(n)}(0)t^n}{n!} + \cdots \] 我们知道 \( e^{t^3} \) 的 Maclaurin 级数是所有项的和 \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{3n}}{n!} \) 因为 \(e^x \) 的 Maclaurin 级数是 \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)。 在 \( t^3 \) 的情况下,这变为 \( e^{t^3} = 1 + t^3 + \frac{t^6}{2!} + \frac{t^9}{3!} + \frac{t^{12}}{4!} + \cdots \)。 我们寻找 \( t=0 \) 时函数的第21阶导数,相当于找系数 \( t^{21} \) 项的系数,并乘以 \( 21! \) 。 在上述展开中,\( t^{21} \) 的系数必定来自 \( \frac{t^{3n}}{n!} \),其中 \( 3n = 21 \),解得 \( n = 7 \)。 所以,\( t^{21} \) 的系数是 \( \frac{1}{7!} \),并且为了得到 \( g^{(21)}(0) \),我们需要将这个系数乘以 \( 21! \)。 计算可得: \[ g^{(21)}(0) = \frac{21!}{7!} \] 但是由于我们是在寻找 Maclaurin 级数的系数,并非真正计算导数,因此实际上 \( g^{(21)}(0) \) 就是直接的系数,不需要再乘 \( 21! \)。 所以 \( g^{(21)}(0) = \frac{1}{7!} \)。 选择项 (B) \( \frac{1}{7!} \) 是正确答案。
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