Example Question - arctan function

Maclaurin Series and Convergence Radius Calculation

为了确定函数 \(\frac{2x}{1+x^2}\) 的麦克劳林级数（Maclaurin series）的收敛半径，我们可以应用比值测试（ratio test）。 首先，让我们找一个这个函数的麦克劳林级数的表达式。这个函数是\( \frac{d}{dx}(\arctan x)\) 的常数倍，其麦克劳林级数可通过对\(\arctan x\) 的麦克劳林级数求导得到。 \(\arctan x\) 的麦克劳林级数为: \[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots \] 因此，函数 \(\frac{2x}{1+x^2}\) 的麦克劳林级数将是： \[ \frac{d}{dx}(\arctan x) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots \] 现在乘以2得到： \[ 2 \left( 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots \right) = 2 - 2x^2 + 2x^4 - 2x^6 + \cdots \] 接着我们应用比值测试，假设 \(a_n\) 为系数，即 \(a_n = (-1)^n \cdot 2x^{2n}\)，那么测试的公式为： \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2x^{2(n+1)}}{(-1)^n \cdot 2x^{2n}} \right| \] 化简得： \[ \lim_{n \to \infty} |x^2| = x^2 \] 收敛半径 \(R\) 满足： \[ R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |} = \frac{1}{x^2} \] 要得到一个具体的收敛半径，我们要让 \(x^2 < 1\) ，也就是 \(|x| < 1\)。 因此，收敛半径 \(R = 1\)。 选项 (B) \(R = 1\) 是正确的。