Question - Logical Proposition Analysis

Para resolver la pregunta, necesitamos aplicar las reglas de las proposiciones lógicas y la tabla de verdad para determinar si la proposición compuesta es verdadera.

Se nos da la siguiente proposición compuesta y se nos pide que rellenemos los valores de verdad de las proposiciones simples:

p: ___

q: ___

r: ___

s: ___

Y la proposición compuesta es:

p \wedge (q \rightarrow \sim r) \vee (\sim s \wedge r)

Para que la proposición compuesta sea VERDADERA, vamos a analizar las partes de la proposición compuesta según las leyes de la lógica:

Sabemos que:

- \(q \rightarrow \sim r\) es falso, ya que si q es VERDADERO y \(\sim r\) (no r) es FALSO, entonces la implicación se vuelve FALSA.

- \( \sim s \wedge r\) es verdadero, lo que significa que \( \sim s\) (no s) y r deben ser ambas VERDADERAS.

Usando esta información, podemos deducir que:

- r tiene que ser VERDADERO, ya que está involucrado en el conectivo \(\wedge\) con \( \sim s\) que también resulta ser VERDADERO.

- s tiene que ser FALSO, ya que \( \sim s\) es VERDADERO.

- q puede ser FALSO, ya que la implicación \(q \rightarrow \sim r\) solo sería cierta si q es FALSO, sin importar el valor de \(\sim r\), o si \( \sim r\) es VERDADERO (pero sabemos que r es VERDADERO, entonces \(\sim r\) es FALSO).

- p no afecta el resultado de la proposición compuesta, ya que está separado por el conectivo \(\vee\) y la segunda proposición de la unión (\(\sim s \wedge r\)) es VERDADERA, así que p puede ser tanto VERDADERO como FALSO y aún así la proposición compuesta será VERDADERA.

Con esto, llenamos los valores de verdad de las proposiciones simples para que la proposición compuesta sea verdadera:

\[ \begin{align*} p:& \text{ VERDADERO o FALSO (ambos son válidos)} \\ q:& \text{ FALSO} \\ r:& \text{ VERDADERO} \\ s:& \text{ FALSO} \end{align*} \]

Por lo tanto, los valores de verdad para que la proposición compuesta sea verdadera son:

p: Verdadero o Falso (cualquiera de los dos hace que la proposición compuesta sea verdadera)

q: Falso

r: Verdadero

s: Falso