Integration Using Trigonometric Substitution
Para resolver la integral que está en la imagen, podemos utilizar una sustitución trigonométrica debido a la presencia de una raíz cuadrada de una diferencia de cuadrados. La expresión bajo la raíz cuadrada, \( 1-x^2 \), sugiere usar la identidad trigonométrica \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \), por lo que podemos hacer la sustitución \( x = \sin(\theta) \), \( dx = \cos(\theta) d\theta \). Entonces, la expresión bajo la raíz cuadrada se convierte en \( \cos^2(\theta) \), cuya raíz cuadrada es simplemente \( \cos(\theta) \).
La integral original se transforma así:
\[
\int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx
\]
Sustituimos \( x = \sin(\theta) \) y \( dx = \cos(\theta) d\theta \):
\[
\int \frac{\sin^2(\theta)}{\cos(\theta)} \cos(\theta) d\theta = \int \sin^2(\theta) d\theta
\]
Ahora podemos utilizar la identidad trigonométrica para \( \sin^2(\theta) \):
\[
\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}
\]
Entonces la integral se convierte en:
\[
\int \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2\theta)) d\theta
\]
La cual se puede integrar término por término:
\[
\frac{1}{2} \left( \int 1 d\theta - \int \cos(2\theta) d\theta \right) = \frac{1}{2} (\theta - \frac{\sin(2\theta)}{2}) + C
\]
Donde \( C \) es la constante de integración.
Finalmente, debemos volver a expresar \( \theta \) en términos de \( x \) utilizando la sustitución original \( x = \sin(\theta) \). Para \( \theta \), usamos \( \theta = \arcsin(x) \) y para \( \sin(2\theta) \), usamos la identidad \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2x\sqrt{1 - x^2} \).
Por lo tanto, la integral original se convierte en:
\[
\frac{1}{2} \left( \arcsin(x) - \frac{1}{2} \cdot 2x\sqrt{1 - x^2} \right) + C
\]
O simplificando:
\[
\frac{\arcsin(x)}{2} - \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{2} + C
\]
Esta es la expresión de la integral indefinida que ha pedido calcular.
