Question - Integration of f(x) - g(x)
mathintegration of functionsevaluate integral with respect to xsubtracting functions in integrationindefinite integral of f(x) - g(x)
Solution:
Claro, vamos a resolver la integral que se muestra en la imagen, que nos pide evaluar la integral de $$ f(x) - g(x) $$ con respecto a $$ x $$.Según la imagen, las funciones $$ f(x) $$ y $$ g(x) $$ están definidas de la siguiente manera:$$ f(x) = x^2 $$$$ g(x) = \sqrt{x} $$Entonces, para encontrar $$ f(x) - g(x) $$, restamos $$ g(x) $$ de $$ f(x) $$:$$ f(x) - g(x) = x^2 - \sqrt{x} $$Ahora podemos proceder a integrar esta diferencia con respecto a $$ x $$:$$ \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int (x^2 - \sqrt{x}) \, dx $$Esta integral se puede resolver separando las dos partes y resolviéndolas individualmente:$$ \int x^2 \, dx - \int \sqrt{x} \, dx $$La integral de $$ x^2 $$ es $$ \frac{x^3}{3} $$ y la integral de $$ \sqrt{x} $$, que también es $$ x^{\frac{1}{2}} $$, es $$ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} $$. Así que sustituimos y obtenemos:$$ \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C $$Donde $$ C $$ es la constante de integración que se agrega al final de cualquier integral indefinida. Esta es la expresión para la integral indefinida de $$ f(x) - g(x) $$ con respecto a $$ x $$.
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