Integration of f(x) - g(x)
Claro, vamos a resolver la integral que se muestra en la imagen, que nos pide evaluar la integral de \( f(x) - g(x) \) con respecto a \( x \).
Según la imagen, las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) están definidas de la siguiente manera:
\( f(x) = x^2 \)
\( g(x) = \sqrt{x} \)
Entonces, para encontrar \( f(x) - g(x) \), restamos \( g(x) \) de \( f(x) \):
\( f(x) - g(x) = x^2 - \sqrt{x} \)
Ahora podemos proceder a integrar esta diferencia con respecto a \( x \):
\( \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int (x^2 - \sqrt{x}) \, dx \)
Esta integral se puede resolver separando las dos partes y resolviéndolas individualmente:
\( \int x^2 \, dx - \int \sqrt{x} \, dx \)
La integral de \( x^2 \) es \( \frac{x^3}{3} \) y la integral de \( \sqrt{x} \), que también es \( x^{\frac{1}{2}} \), es \( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \). Así que sustituimos y obtenemos:
\( \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C \)
Donde \( C \) es la constante de integración que se agrega al final de cualquier integral indefinida. Esta es la expresión para la integral indefinida de \( f(x) - g(x) \) con respecto a \( x \).
