Example Question - integration of functions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Integration of Multiple Functions
Чтобы решить предложенный интеграл, давайте разделим задачу на части и пошагово найдем неопределенные интегралы каждого из слагаемых. Это стандартный метод интегрирования, когда мы имеем дело с суммой или разностью функций. Интеграл от \(6x^5\) равен \(\frac{6x^6}{6} = x^6\), так как мы интегрируем \(x^n\) как \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Интеграл от \(-2x^4\) равен \(-\frac{2x^5}{5}\), применяя ту же формулу интегрирования степенных функций. Интеграл от \(5x^{-5}\) равен \(5 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1}\), что упрощается до \(-\frac{5}{4x^4}\). Интеграл от \(-\sqrt[3]{x^2}\) (который равен \(-x^{2/3}\)) равен \(-\frac{3x^{2/3+1}}{2/3+1}\), что упрощается до \(-\frac{9x^{5/3}}{5}\). Интеграл от \(\frac{4}{x+2}\), это логарифмическая функция, которая интегрируется как \(4\ln|x+2|\). Интеграл от \(1\) это просто \(x\), так как интеграл от константы равен константе умноженной на переменную интегрирования. Объединяя все вместе, получаем: \[ \int (6x^5 - 2x^4 + 5x^{-5} - \sqrt[3]{x^2} + \frac{4}{x+2} + 1)dx = x^6 - \frac{2x^5}{5} - \frac{5}{4x^4} - \frac{9x^{5/3}}{5} + 4\ln|x+2| + x + C \] где \(C\) это константа интегрирования.
Integration of f(x) - g(x)
Claro, vamos a resolver la integral que se muestra en la imagen, que nos pide evaluar la integral de \( f(x) - g(x) \) con respecto a \( x \). Según la imagen, las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) están definidas de la siguiente manera: \( f(x) = x^2 \) \( g(x) = \sqrt{x} \) Entonces, para encontrar \( f(x) - g(x) \), restamos \( g(x) \) de \( f(x) \): \( f(x) - g(x) = x^2 - \sqrt{x} \) Ahora podemos proceder a integrar esta diferencia con respecto a \( x \): \( \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int (x^2 - \sqrt{x}) \, dx \) Esta integral se puede resolver separando las dos partes y resolviéndolas individualmente: \( \int x^2 \, dx - \int \sqrt{x} \, dx \) La integral de \( x^2 \) es \( \frac{x^3}{3} \) y la integral de \( \sqrt{x} \), que también es \( x^{\frac{1}{2}} \), es \( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \). Así que sustituimos y obtenemos: \( \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C \) Donde \( C \) es la constante de integración que se agrega al final de cualquier integral indefinida. Esta es la expresión para la integral indefinida de \( f(x) - g(x) \) con respecto a \( x \).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com