Question - First-Order Separable and Exact Differential Equations

Sea la ecuación diferencial de la forma \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\), donde \(g(x)\) es una función solo de \(x\) y \(h(y)\) es una función solo de \(y\).

Una ecuación diferencial es separable si se puede escribir en forma de producto de una función de \(x\) y una función de \(y\): \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\)

Para ser una ecuación exacta, debe existir una función \(F(x,y)\) tal que \(\frac{dF}{dx} = g(x)h(y)\) y \(\frac{dF}{dy}=0\). Siempre que la ecuación diferencial pueda expresarse como la derivada total de \(F(x,y)\), es exacta.

Por lo tanto, se puede decir que no todas las ecuaciones diferenciales de primer orden que son separables son exactas, porque ser separable no implica que pueda encontrarse una función \(F(x,y)\) cuya derivada total coincida con la ecuación diferencial dada.

La afirmación es \textbf{falsa}.