Example Question - first-order differential equation
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Solving a Non-Exact Differential Equation by Finding an Integrating Factor
Para resolver este problema, sigamos los siguientes pasos: Primero, verifiquemos si la ecuación diferencial no es exacta. La ecuación diferencial dada es: <p>\((x^2 + xy - y^2)dx + (y^2 + 2xy - x^2)dy = 0\)</p> Calculamos \(\frac{\partial M}{\partial y}\) y \(\frac{\partial N}{\partial x}\), donde \(M = x^2 + xy - y^2\) y \(N = y^2 + 2xy - x^2\). <p>\(\frac{\partial M}{\partial y} = x - 2y\)</p> <p>\(\frac{\partial N}{\partial x} = 2y - 2x\)</p> Ya que \(\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}\), la ecuación no es exacta. Segundo, busquemos el factor integrante \(\mu(x,y)\) que convierte la ecuación en una exacta. Para este problema, no se proporcionó explícitamente un factor integrante, así que no podemos continuar sin más información. Sin el factor integrante correcto, no podemos resolver la ecuación diferencial dada. Normalmente, el factor integrante dependería de una relación entre \(M\) y \(N\) y sus derivadas parciales, para llevar la ecuación a una forma exacta. En este caso, necesitamos más información o instrucciones adicionales sobre el factor integrante para proceder con la solución. Por ende, no podemos ofrecer una solución completa sin la información faltante sobre el factor integrante.
First-Order Separable and Exact Differential Equations
<p>Sea la ecuación diferencial de la forma \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\), donde \(g(x)\) es una función solo de \(x\) y \(h(y)\) es una función solo de \(y\).</p> <p>Una ecuación diferencial es separable si se puede escribir en forma de producto de una función de \(x\) y una función de \(y\): \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\)</p> <p>Para ser una ecuación exacta, debe existir una función \(F(x,y)\) tal que \(\frac{dF}{dx} = g(x)h(y)\) y \(\frac{dF}{dy}=0\). Siempre que la ecuación diferencial pueda expresarse como la derivada total de \(F(x,y)\), es exacta.</p> <p>Por lo tanto, se puede decir que no todas las ecuaciones diferenciales de primer orden que son separables son exactas, porque ser separable no implica que pueda encontrarse una función \(F(x,y)\) cuya derivada total coincida con la ecuación diferencial dada.</p> <p>La afirmación es \textbf{falsa}.</p>
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