Question - Finding the Tangent of Double Angle
Solution:
Para resolver el problema, primero recordemos que en un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo es el cociente de la longitud del cateto opuesto sobre la longitud del cateto adyacente. El problema nos dice que $$ AB = 4 $$ y $$ BC = 5 $$, y como $$ \theta $$ es el ángulo en el vértice A, entonces:$$ \tan(\theta) = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{4} $$Ahora, para encontrar $$ \tan(2\theta) $$, podemos usar la fórmula de la tangente del ángulo doble:$$ \tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)} $$Sustituimos el valor de $$ \tan(\theta) $$:$$ \tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)}{1 - \left(\frac{5}{4}\right)^2} = \frac{2 \cdot \frac{5}{4}}{1 - \frac{25}{16}} = \frac{\frac{10}{4}}{\frac{16}{16} - \frac{25}{16}} = \frac{\frac{10}{4}}{\frac{-9}{16}} $$Al simplificar esta expresión, obtenemos:$$ \tan(2\theta) = \frac{10 \cdot 16}{4 \cdot -9} = \frac{160}{-36} = -\frac{40}{9} $$Por lo tanto, el valor de $$ \tan(2\theta) $$ es $$ -\frac{40}{9} $$.
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