Example Question - tangent formula
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the Tangent of Double Angle
Para resolver el problema, primero recordemos que en un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo es el cociente de la longitud del cateto opuesto sobre la longitud del cateto adyacente. El problema nos dice que \( AB = 4 \) y \( BC = 5 \), y como \( \theta \) es el ángulo en el vértice A, entonces: \( \tan(\theta) = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{4} \) Ahora, para encontrar \( \tan(2\theta) \), podemos usar la fórmula de la tangente del ángulo doble: \( \tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)} \) Sustituimos el valor de \( \tan(\theta) \): \( \tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)}{1 - \left(\frac{5}{4}\right)^2} = \frac{2 \cdot \frac{5}{4}}{1 - \frac{25}{16}} = \frac{\frac{10}{4}}{\frac{16}{16} - \frac{25}{16}} = \frac{\frac{10}{4}}{\frac{-9}{16}} \) Al simplificar esta expresión, obtenemos: \( \tan(2\theta) = \frac{10 \cdot 16}{4 \cdot -9} = \frac{160}{-36} = -\frac{40}{9} \) Por lo tanto, el valor de \( \tan(2\theta) \) es \( -\frac{40}{9} \).
Finding the Value of tan(pi/2 - alpha) in Trigonometry
La pregunta en la imagen es acerca de encontrar el valor de \( tan\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \) basado en el triángulo mostrado. Vamos a resolverlo paso por paso. Dado que tenemos un triángulo rectángulo, podemos utilizar la relación entre los lados para encontrar el valor de las funciones trigonométricas del ángulo α. Vemos que el triángulo tiene: - Un lado opuesto al ángulo α de longitud 4 - Un lado adyacente al ángulo α de longitud \( \sqrt{20} \) - La hipotenusa opuesta al ángulo recto de longitud 2 (la letra C está al lado de este valor, sugiriendo que señala el ángulo recto) Sin embargo, hay un error aquí; normalmente, la hipotenusa sería el lado más largo del triángulo rectángulo, pero aquí se da como 2, lo cual no puede ser correcto dada la longitud de los otros lados del triángulo (4 y \( \sqrt{20} \)). Asumiendo que este fue un error en la imagen, vamos a proceder como si el 2 fuera el lado opuesto al ángulo α en lugar de la hipotenusa, lo cual tendría más sentido. La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como el lado opuesto dividido por el lado adyacente, entonces: \[ tan(\alpha) = \frac{lado\ opuesto}{lado\ adyacente} = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] Pero necesitamos encontrar \( tan\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \). La función tangente es co-función de la cotangente. Esto significa que: \[ tan\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = cot(\alpha) \] La cotangente es el recíproco de la tangente, así que: \[ cot(\alpha) = \frac{1}{tan(\alpha)} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \sqrt{5} \] Entonces, \( tan\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \sqrt{5} \).
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