Question - Finding the Minimum Number with Specific Remainders
Solution:
El Ejercicio 3 nos pide encontrar el menor número que, al dividirlo por 15, 20, 36 y 48, dé en cada caso un resto de 9.Para resolver este problema, primero debemos encontrar un número que sea divisible por 15, 20, 36 y 48 y luego sumarle 9 para obtener los restos deseados.El número que buscamos tiene que ser múltiplo común de los números dados menos el resto que queremos obtener, es decir, múltiplo común de 15-9 (6), 20-9 (11), 36-9 (27) y 48-9 (39). Pero, notemos que el problema se simplifica si encontramos el mínimo común múltiplo (MCM) de 15, 20, 36 y 48 y luego le sumamos 9, porque si un número $$ x $$ da un resto de 9 al dividir por otro número $$ y $$, entonces $$ x - 9 $$ es divisible por $$ y $$.Encontremos el MCM de 15, 20, 36 y 48:- Descomponemos cada uno en sus factores primos: - $$ 15 = 3 \times 5 $$ - $$ 20 = 2^2 \times 5 $$ - $$ 36 = 2^2 \times 3^2 $$ - $$ 48 = 2^4 \times 3 $$- Tomamos los factores primos más grandes con sus mayores exponentes: - $$ 2^4 $$ (por 48) - $$ 3^2 $$ (por 36) - $$ 5 $$ (por 15 y 20)- Multiplicamos estos factores para obtener el MCM: - MCM = $$ 2^4 \times 3^2 \times 5 = 16 \times 9 \times 5 = 144 \times 5 = 720 $$El menor número que cumple con las condiciones del problema será el MCM más 9, es decir, 720 + 9 = 729.Por tanto, el número que buscamos es 729.
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