Finding the Minimum Number with Specific Remainders
El Ejercicio 3 nos pide encontrar el menor número que, al dividirlo por 15, 20, 36 y 48, dé en cada caso un resto de 9.
Para resolver este problema, primero debemos encontrar un número que sea divisible por 15, 20, 36 y 48 y luego sumarle 9 para obtener los restos deseados.
El número que buscamos tiene que ser múltiplo común de los números dados menos el resto que queremos obtener, es decir, múltiplo común de 15-9 (6), 20-9 (11), 36-9 (27) y 48-9 (39). Pero, notemos que el problema se simplifica si encontramos el mínimo común múltiplo (MCM) de 15, 20, 36 y 48 y luego le sumamos 9, porque si un número \( x \) da un resto de 9 al dividir por otro número \( y \), entonces \( x - 9 \) es divisible por \( y \).
Encontremos el MCM de 15, 20, 36 y 48:
- Descomponemos cada uno en sus factores primos:
- \( 15 = 3 \times 5 \)
- \( 20 = 2^2 \times 5 \)
- \( 36 = 2^2 \times 3^2 \)
- \( 48 = 2^4 \times 3 \)
- Tomamos los factores primos más grandes con sus mayores exponentes:
- \( 2^4 \) (por 48)
- \( 3^2 \) (por 36)
- \( 5 \) (por 15 y 20)
- Multiplicamos estos factores para obtener el MCM:
- MCM = \( 2^4 \times 3^2 \times 5 = 16 \times 9 \times 5 = 144 \times 5 = 720 \)
El menor número que cumple con las condiciones del problema será el MCM más 9, es decir, 720 + 9 = 729.
Por tanto, el número que buscamos es 729.
