Question - Finding the Coefficients of a Cubic Polynomial
Solution:
Nous avons un polynôme $$ P(x) = ax^3 + bx^2 - 18x + c $$, où $$ a $$, $$ b $$, et $$ c $$ sont des nombres réels.Nous devons déterminer les valeurs de $$ a $$, $$ b $$, et $$ c $$ en sachant que $$ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 $$, $$ P(0) = 8 $$ et $$ P(2) = 0 $$.En utilisant ces informations, nous pouvons former un système d'équations :1. $$ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 $$ donne $$ a\left(\frac{1}{2}\right)^3 + b\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 18\left(\frac{1}{2}\right) + c = 0 $$ En simplifiant, nous obtenons $$ \frac{a}{8} + \frac{b}{4} - 9 + c = 0 $$ ou $$ \frac{a}{8} + \frac{b}{4} + c = 9 $$ (équation 1).2. $$ P(0) = 8 $$ donne $$ c = 8 $$ (équation 2).3. $$ P(2) = 0 $$ donne $$ a(2)^3 + b(2)^2 - 18(2) + c = 0 $$ En simplifiant, nous avons $$ 8a + 4b - 36 + c = 0 $$ Mais nous savons déjà que $$ c = 8 $$, donc $$ 8a + 4b - 36 + 8 = 0 $$ ou $$ 8a + 4b = 28 $$ ou $$ 2a + b = 7 $$ (équation 3).Maintenant, nous utilisons l'équation 2 pour remplacer $$ c $$ par $$ 8 $$ dans l'équation 1 :$$ \frac{a}{8} + \frac{b}{4} + 8 = 9 $$ donne $$ \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 1 $$ ou $$ a + 2b = 8 $$ (équation 4).Nous avons maintenant un système de deux équations avec deux inconnues (a, b) :- $$ 2a + b = 7 $$ (équation 3)- $$ a + 2b = 8 $$ (équation 4)Pour résoudre le système, nous pouvons utiliser une méthode d'élimination ou de substitution. Utilisons la méthode de substitution. Multiplions la deuxième équation par 2 et soustrayons la première équation de celle-ci :$$ 2(a + 2b) = 2(8) $$$$ 2a + 4b = 16 $$Et maintenant soustrayons équation 3 de cette nouvelle équation :$$ (2a + 4b) - (2a + b) = 16 - 7 $$$$ 3b = 9 $$$$ b = 3 $$Maintenant, remplaçons $$ b $$ dans l'équation 3 pour trouver $$ a $$ :$$ 2a + 3 = 7 $$$$ 2a = 4 $$$$ a = 2 $$Nous connaissons déjà $$ c $$ grâce à l'équation 2 :$$ c = 8 $$Donc, les valeurs de $$ a $$, $$ b $$, et $$ c $$ sont respectivement 2, 3, et 8.
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