Finding the Coefficients of a Cubic Polynomial
Nous avons un polynôme \( P(x) = ax^3 + bx^2 - 18x + c \), où \( a \), \( b \), et \( c \) sont des nombres réels.
Nous devons déterminer les valeurs de \( a \), \( b \), et \( c \) en sachant que \( P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \), \( P(0) = 8 \) et \( P(2) = 0 \).
En utilisant ces informations, nous pouvons former un système d'équations :
1. \( P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \) donne \( a\left(\frac{1}{2}\right)^3 + b\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 18\left(\frac{1}{2}\right) + c = 0 \)
En simplifiant, nous obtenons \( \frac{a}{8} + \frac{b}{4} - 9 + c = 0 \) ou \( \frac{a}{8} + \frac{b}{4} + c = 9 \) (équation 1).
2. \( P(0) = 8 \) donne \( c = 8 \) (équation 2).
3. \( P(2) = 0 \) donne \( a(2)^3 + b(2)^2 - 18(2) + c = 0 \)
En simplifiant, nous avons \( 8a + 4b - 36 + c = 0 \)
Mais nous savons déjà que \( c = 8 \), donc \( 8a + 4b - 36 + 8 = 0 \) ou \( 8a + 4b = 28 \) ou \( 2a + b = 7 \) (équation 3).
Maintenant, nous utilisons l'équation 2 pour remplacer \( c \) par \( 8 \) dans l'équation 1 :
\( \frac{a}{8} + \frac{b}{4} + 8 = 9 \) donne \( \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 1 \) ou \( a + 2b = 8 \) (équation 4).
Nous avons maintenant un système de deux équations avec deux inconnues (a, b) :
- \( 2a + b = 7 \) (équation 3)
- \( a + 2b = 8 \) (équation 4)
Pour résoudre le système, nous pouvons utiliser une méthode d'élimination ou de substitution. Utilisons la méthode de substitution. Multiplions la deuxième équation par 2 et soustrayons la première équation de celle-ci :
\( 2(a + 2b) = 2(8) \)
\( 2a + 4b = 16 \)
Et maintenant soustrayons équation 3 de cette nouvelle équation :
\( (2a + 4b) - (2a + b) = 16 - 7 \)
\( 3b = 9 \)
\( b = 3 \)
Maintenant, remplaçons \( b \) dans l'équation 3 pour trouver \( a \) :
\( 2a + 3 = 7 \)
\( 2a = 4 \)
\( a = 2 \)
Nous connaissons déjà \( c \) grâce à l'équation 2 :
\( c = 8 \)
Donc, les valeurs de \( a \), \( b \), et \( c \) sont respectivement 2, 3, et 8.
