Finding Tangent Value
Para resolver la pregunta, primero necesitamos encontrar el valor del ángulo α en el triángulo rectángulo ABC.
En el triángulo rectángulo, tenemos que el lado AC (hipotenusa) es la raíz cuadrada de 17 y el lado AB es 4. Podemos encontrar el ángulo α usando la definición del coseno, que es la longitud del lado adyacente (AB) dividida entre la longitud de la hipotenusa (AC):
\[ \cos(\alpha) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{\sqrt{17}} \]
Ahora queremos encontrar el valor de \[ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \].
La función tangente de la diferencia entre \(\frac{\pi}{2}\) y un ángulo es igual a la cotangente de dicho ángulo. Esto se debe a las identidades trigonométricas y al hecho de que la tangente y la cotangente son funciones co-secantes. Entonces, podemos establecer que:
\[ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot(\alpha) \]
Y recordamos que la cotangente es el recíproco de la tangente, lo que significaría también que:
\[ \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \]
Entonces necesitamos encontrar el valor de la tangente de α para luego tomar su recíproco. Usando otra identidad trigonométrica, la cual establece que el coseno de un ángulo es el recíproco de la secante, podemos escribir:
\[ \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \]
\[ \sec(\alpha) = \frac{\sqrt{17}}{4} \]
Dado que en un triángulo rectángulo la tangente de un ángulo (α) es igual al seno sobre el coseno y utilizando que la secante es el recíproco del coseno, podemos expresar la tangente como:
\[ \tan(\alpha) = \sin(\alpha) \cdot \sec(\alpha) \]
Pero no tenemos el valor del seno de α directamente. Podemos obtener el lado opuesto (BC) al ángulo α usando el teorema de Pitágoras:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]
\[ (\sqrt{17})^2 = 4^2 + BC^2 \]
\[ 17 = 16 + BC^2 \]
\[ BC^2 = 17 - 16 \]
\[ BC = \sqrt{1} \]
\[ BC = 1 \]
Entonces el valor del seno de α es:
\[ \sin(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{17}} \]
Multiplicamos el seno por la secante para obtener la tangente de α:
\[ \tan(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} = \frac{1}{4} \]
Ahora tomamos el recíproco para obtener la cotangente de α:
\[ \cot(\alpha) = \frac{4}{1} \]
Por lo tanto, el valor de la tangente de \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) es:
\[ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 4 \]
