Finding Minimum Value of a Quadratic Expression
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{x^4 - 2kx^2 + 2025}{x^2} \) với \(x \neq 0\), ta có thể thực hiện các bước sau:
1. Chia cả tử số và mẫu số của phân số cho \(x^2\), ta được:
\[ P = \frac{x^4}{x^2} - 2k\frac{x^2}{x^2} + \frac{2025}{x^2} \]
\[ P = x^2 - 2k + \frac{2025}{x^2} \]
2. Thêm và trừ \(k^2\) để viết biểu thức dưới dạng bình phương của một biểu thức hoàn chỉnh:
\[ P = x^2 - 2k + k^2 + \frac{2025}{x^2} - k^2 \]
\[ P = (x^2 - k)^2 + \frac{2025}{x^2} - k^2 \]
3. Đặt \( t = x^2 \) (đây là phép đặt ẩn phụ, lưu ý rằng \( t > 0 \) vì \( x \neq 0 \) và \( t \) là bình phương của \( x \)), ta có:
\[ P = (t - k)^2 + \frac{2025}{t} - k^2 \]
\[ P = t^2 - 2kt + k^2 + \frac{2025}{t} - k^2 \]
\[ P = t^2 - 2kt + \frac{2025}{t} \]
4. Biểu thức \( P \) trên có thể được viết lại dưới dạng tổng của một bình phương và một nghịch đảo của \( t \). Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng - trung bình nhân) để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \):
\[ t^2 + \frac{2025}{t} \geq 2\sqrt{t^2 \cdot \frac{2025}{t}} \]
\[ t^2 + \frac{2025}{t} \geq 2\sqrt{2025} \]
\[ t^2 + \frac{2025}{t} \geq 2 \cdot 45 \]
\[ t^2 + \frac{2025}{t} \geq 90 \]
5. Như vậy, ta có:
\[ P = t^2 - 2kt + \frac{2025}{t} \geq 90 - 2kt \]
Nhớ rằng \( t = x^2 \), giá trị nhỏ nhất của \( P \) sẽ đạt được khi cả \( t^2 \) và \( \frac{2025}{t} \) cùng đạt giá trị nhỏ nhất trong bất đẳng thức AM-GM, tức là khi chúng bằng nhau:
\[ t^2 = \frac{2025}{t} \]
\[ t^3 = 2025 \]
\[ t = \sqrt[3]{2025} \]
\[ t = 13 \text{ (vì 13*13*13 = 2197, giá trị gần nhất và nhỏ hơn 2025)} \]
Và khi \( t = 13 \), tức \( x^2 = 13 \), ta có \( P \geq 90 - 2k(13) \). Để \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất thì \( k \) phải bằng 0.
Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là:
\[ P_{\text{min}} = 90 - 2k(13) = 90 \]
Khi \( k = 0 \) và \( x^2 = 13 \).
