Question - Finding Coordinates to Make Line Segments Perpendicular
Solution:
Claro, vamos a resolver el problema matemático que está planteado en la imagen.El problema indica que tenemos dos puntos, $$ P = (-3, 1) $$ y $$ R = (1, -5) $$, y un punto $$ A $$ que pertenece al segmento de línea entre los puntos $$ E $$ y $$ F $$, donde $$ E = (-1, 2) $$ y $$ F $$ es un punto a determinar. Nos piden encontrar las coordenadas de $$ A $$ para que el segmento $$ PE $$ sea perpendicular a $$ EF $$.Primero, necesitamos recordar que dos segmentos son perpendiculares si el producto de sus pendientes es $$ -1 $$. La pendiente $$ m_{PE} $$ del segmento $$ PE $$ se puede calcular como sigue:\[ m_{PE} = \frac{y_E - y_P}{x_E - x_P} = \frac{2 - 1}{-1 + 3} = \frac{1}{2}. \]Como queremos que $$ PE $$ sea perpendicular a $$ EF $$, entonces la pendiente de $$ EF $$, que llamaremos $$ m_{EF} $$, debe satisfacer:\[ m_{PE} \cdot m_{EF} = -1. \]\[ \frac{1}{2} \cdot m_{EF} = -1. \]\[ m_{EF} = -2. \]Ahora necesitamos hallar el punto $$ F $$ tal que $$ EF $$ tenga una pendiente de $$ -2 $$. Para cualquier punto $$ F(x_F, y_F) $$, podemos aplicar la fórmula de la pendiente entre $$ E $$ y $$ F $$:\[ m_{EF} = \frac{y_F - y_E}{x_F - x_E}. \]Sustituimos la pendiente encontrada y los valores de $$ E $$:\[ -2 = \frac{y_F - 2}{x_F + 1}. \]\[ -2(x_F + 1) = y_F - 2. \]\[ y_F = -2x_F - 2 - 2. \]\[ y_F = -2x_F - 4. \]Como no hay más restricciones para $$ F $$, podemos elegir un valor para $$ x_F $$ y encontrar $$ y_F $$. Por ejemplo, si tomamos $$ x_F = 0 $$, entonces $$ y_F = -4 $$, por lo que $$ F = (0, -4) $$.Ahora bien, el problema también mencionaba un punto $$ A $$ en el segmento $$ EF $$. Sin más información, no podemos determinar la ubicación exacta de $$ A $$, pero $$ A $$ estará en algún lugar entre $$ E $$ y $$ F $$, sobre la línea recta que acabamos de encontrar con pendiente $$ -2 $$.
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