Example Question - coordinate calculation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding Coordinates to Make Line Segments Perpendicular
Claro, vamos a resolver el problema matemático que está planteado en la imagen. El problema indica que tenemos dos puntos, \( P = (-3, 1) \) y \( R = (1, -5) \), y un punto \( A \) que pertenece al segmento de línea entre los puntos \( E \) y \( F \), donde \( E = (-1, 2) \) y \( F \) es un punto a determinar. Nos piden encontrar las coordenadas de \( A \) para que el segmento \( PE \) sea perpendicular a \( EF \). Primero, necesitamos recordar que dos segmentos son perpendiculares si el producto de sus pendientes es \( -1 \). La pendiente \( m_{PE} \) del segmento \( PE \) se puede calcular como sigue: \[ m_{PE} = \frac{y_E - y_P}{x_E - x_P} = \frac{2 - 1}{-1 + 3} = \frac{1}{2}. \] Como queremos que \( PE \) sea perpendicular a \( EF \), entonces la pendiente de \( EF \), que llamaremos \( m_{EF} \), debe satisfacer: \[ m_{PE} \cdot m_{EF} = -1. \] \[ \frac{1}{2} \cdot m_{EF} = -1. \] \[ m_{EF} = -2. \] Ahora necesitamos hallar el punto \( F \) tal que \( EF \) tenga una pendiente de \( -2 \). Para cualquier punto \( F(x_F, y_F) \), podemos aplicar la fórmula de la pendiente entre \( E \) y \( F \): \[ m_{EF} = \frac{y_F - y_E}{x_F - x_E}. \] Sustituimos la pendiente encontrada y los valores de \( E \): \[ -2 = \frac{y_F - 2}{x_F + 1}. \] \[ -2(x_F + 1) = y_F - 2. \] \[ y_F = -2x_F - 2 - 2. \] \[ y_F = -2x_F - 4. \] Como no hay más restricciones para \( F \), podemos elegir un valor para \( x_F \) y encontrar \( y_F \). Por ejemplo, si tomamos \( x_F = 0 \), entonces \( y_F = -4 \), por lo que \( F = (0, -4) \). Ahora bien, el problema también mencionaba un punto \( A \) en el segmento \( EF \). Sin más información, no podemos determinar la ubicación exacta de \( A \), pero \( A \) estará en algún lugar entre \( E \) y \( F \), sobre la línea recta que acabamos de encontrar con pendiente \( -2 \).
Vector Operations and Magnitudes
Adottak az \( a = 5i - 12j \) és \( b = 4i - 3j \) vektorok. a) A \( a + b \) és \( 3a; 2b \) vektorok koordinátáit úgy számoljuk ki, hogy összeadjuk (vagy megszorozzuk a megfelelő skalárral) a megadott vektorok megfelelő \( i \) és \( j \) komponenseit. \( a + b = (5i - 12j) + (4i - 3j) \\ = (5i + 4i) + (-12j - 3j) \\ = 9i - 15j \) Tehát \( a + b \) vektor koordinátái: \( 9i - 15j \). \( 3a = 3(5i - 12j) \\ = 3 \cdot 5i - 3 \cdot 12j \\ = 15i - 36j \) \( 2b = 2(4i - 3j) \\ = 2 \cdot 4i - 2 \cdot 3j \\ = 8i - 6j \) Tehát \( 3a \) vektor koordinátái: \( 15i - 36j \), és \( 2b \) vektor koordinátái: \( 8i - 6j \). b) A vektor hosszát (abszolut értékét) a következő képlettel számolhatjuk ki: \( |v| = \sqrt{i^2 + j^2} \) Most számoljuk ki \( |a|, |b|, |a + b| \) értékét. \( |a| = \sqrt{(5i)^2 + (-12j)^2} \\ = \sqrt{25 + 144} \\ = \sqrt{169} \\ = 13 \) \( |b| = \sqrt{(4i)^2 + (-3j)^2} \\ = \sqrt{16 + 9} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 \) \( |a + b| = |9i - 15j| \\ = \sqrt{(9i)^2 + (-15j)^2} \\ = \sqrt{81 + 225} \\ = \sqrt{306} \\ \approx 17.49 \) Tehát \( |a| \) értéke 13, \( |b| \) értéke 5, és \( |a + b| \) értéke körülbelül 17.49.
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