Finding Coordinates to Make Line Segments Perpendicular
Claro, vamos a resolver el problema matemático que está planteado en la imagen.
El problema indica que tenemos dos puntos, \( P = (-3, 1) \) y \( R = (1, -5) \), y un punto \( A \) que pertenece al segmento de línea entre los puntos \( E \) y \( F \), donde \( E = (-1, 2) \) y \( F \) es un punto a determinar. Nos piden encontrar las coordenadas de \( A \) para que el segmento \( PE \) sea perpendicular a \( EF \).
Primero, necesitamos recordar que dos segmentos son perpendiculares si el producto de sus pendientes es \( -1 \). La pendiente \( m_{PE} \) del segmento \( PE \) se puede calcular como sigue:
\[ m_{PE} = \frac{y_E - y_P}{x_E - x_P} = \frac{2 - 1}{-1 + 3} = \frac{1}{2}. \]
Como queremos que \( PE \) sea perpendicular a \( EF \), entonces la pendiente de \( EF \), que llamaremos \( m_{EF} \), debe satisfacer:
\[ m_{PE} \cdot m_{EF} = -1. \]
\[ \frac{1}{2} \cdot m_{EF} = -1. \]
\[ m_{EF} = -2. \]
Ahora necesitamos hallar el punto \( F \) tal que \( EF \) tenga una pendiente de \( -2 \). Para cualquier punto \( F(x_F, y_F) \), podemos aplicar la fórmula de la pendiente entre \( E \) y \( F \):
\[ m_{EF} = \frac{y_F - y_E}{x_F - x_E}. \]
Sustituimos la pendiente encontrada y los valores de \( E \):
\[ -2 = \frac{y_F - 2}{x_F + 1}. \]
\[ -2(x_F + 1) = y_F - 2. \]
\[ y_F = -2x_F - 2 - 2. \]
\[ y_F = -2x_F - 4. \]
Como no hay más restricciones para \( F \), podemos elegir un valor para \( x_F \) y encontrar \( y_F \). Por ejemplo, si tomamos \( x_F = 0 \), entonces \( y_F = -4 \), por lo que \( F = (0, -4) \).
Ahora bien, el problema también mencionaba un punto \( A \) en el segmento \( EF \). Sin más información, no podemos determinar la ubicación exacta de \( A \), pero \( A \) estará en algún lugar entre \( E \) y \( F \), sobre la línea recta que acabamos de encontrar con pendiente \( -2 \).
