Factorization of a Difference of Squares with Higher Powers
La imagen muestra una expresión algebraica con la instrucción de factorizar. La expresión es: "8x^4 - y^4".
Para factorizar la expresión, podemos reconocer que esto es una diferencia de cuadrados. La forma general para factorizar una diferencia de cuadrados es \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \). Sin embargo, puesto que tenemos cuartas potencias, aplicaremos la diferencia de cuadrados dos veces.
Primero notamos que \( 8x^4 \) es \( (2x^2)^2 \) y que \( y^4 \) es \( y^2 \)^2. Por lo tanto, podemos escribir la expresión como una diferencia de cuadrados y aplicar la fórmula:
\[ (2x^2)^2 - (y^2)^2 = (2x^2 + y^2)(2x^2 - y^2) \]
Ahora, observamos que \( 2x^2 - y^2 \) también es una diferencia de cuadrados, que puede escribirse como \( ( \sqrt{2}x )^2 - y^2 \). Aplicamos nuevamente la fórmula de la diferencia de cuadrados:
\[ 2x^2 - y^2 = ( \sqrt{2}x + y )( \sqrt{2}x - y ) \]
Ahora substituimos esa factorización en nuestra expresión original:
\[ (2x^2 + y^2)( \sqrt{2}x + y )( \sqrt{2}x - y ) \]
Por lo tanto, la expresión \( 8x^4 - y^4 \) completamente factorizada es:
\[ (2x^2 + y^2)( \sqrt{2}x + y )( \sqrt{2}x - y ) \]
