Example Question - angle relationship
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Angle Relationship Problem
Так как данный вопрос содержит математическую задачу, я приступлю к её решению. <p>Для того чтобы решить данную задачу, необходимо использовать свойства смежных углов и свойства углов, образованных при пересечении двух прямых секущей.</p> <p>По условию задачи нам известны углы \( \angle 1 \), \( \angle 2 \), и требуется найти угол \( \angle 3 \).</p> <p>Смежные углы в сумме составляют \( 180^\circ \), следовательно, если углы \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) смежные, то:</p> <p>\[ \angle 3 = 180^\circ - \angle 1 \]</p> <p>Из условия задачи известно, что \( \angle 1 \) равен \( 117^\circ \), следовательно:</p> <p>\[ \angle 3 = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ \]</p> <p>Чтобы найти угол \( \angle 2 \), нужно использовать свойство вертикальных углов, которые равны между собой. Углы \( \angle 2 \) и \( \angle 1 \) являются вертикальными, следовательно:</p> <p>\[ \angle 2 = \angle 1 = 117^\circ \]</p> <p>Таким образом, угол \( \angle 3 \) равен \( 63^\circ \), а угол \( \angle 2 \) равен \( 117^\circ \).</p>
Evaluating Tangents with Given Constraints
Para resolver la pregunta, debemos en primer lugar interpretar la información que nos dan y luego usarla para hallar el valor pedido. Nos dicen que \( \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi \) y que \( \sec(t) = \frac{5}{4} \). El valor de \( \sec(t) \) corresponde al recíproco del coseno de \( t \), es decir, \( \sec(t) = \frac{1}{\cos(t)} \). Por tanto, nos están informando que \( \cos(t) = \frac{4}{5} \). La función \( \tan(t) \) es la razón del seno y el coseno de \( t \), \( \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \). Para encontrar \( \tan\left(\frac{-\pi}{4}\right) \), observamos primero que este ángulo corresponde a un ángulo en el cuarto cuadrante (-45 grados), y en este cuadrante la tangente es negativa. La tangente de cualquier ángulo de 45 grados (o \( \pi/4 \) en radianes) en valor absoluto es igual a 1. Por consiguiente, \( \tan\left(\frac{-\pi}{4}\right) \) debe ser igual a -1, ya que en el cuarto cuadrante la tangente toma valores negativos. Ahora, para encontrar \( \tan(t+\frac{-\pi}{4}) \) usamos la fórmula de la suma de tangentes: \[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)} \] En nuestro caso, \(\alpha = t\) y \(\beta = \frac{-\pi}{4}\), así que sustituimos: \[ \tan(t+\frac{-\pi}{4}) = \frac{\tan(t) + \tan(\frac{-\pi}{4})}{1 - \tan(t)\tan(\frac{-\pi}{4})} \] Tenemos que \( \cos(t) = \frac{4}{5} \), y están dentro del rango \( \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi \), lo que indica que \( t \) está en el cuarto cuadrante, donde el coseno es positivo y el seno es negativo. Dado que \( \sec(t) = 1/\cos(t) = 5/4 \), podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor del seno, sabiendo que \( \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 \): \[ \sin(t) = -\sqrt{1 - \cos^2(t)} = -\sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \] Sabiendo que \( \sin(t) = -\frac{3}{5} \) y \( \cos(t) = \frac{4}{5} \), podemos calcular \( \tan(t) \): \[ \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} \] Ahora podemos sustituir estos valores en la fórmula de suma de tangentes: \[ \tan(t + \frac{-\pi}{4}) = \frac{-\frac{3}{4} - 1}{1 - (-\frac{3}{4})(-1)} = \frac{-\frac{3}{4} - \frac{4}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} = -7 \] Entonces, el valor de \( \tan(t + \frac{-\pi}{4}) \) es -7.
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