Example Question - sample size estimation
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Calculating Confidence Interval and Sample Size for Proportion Estimation
Para resolver la parte (A) del Ejercicio 4, se utiliza la fórmula del intervalo de confianza para una proporción de la población. Dado que se nos proporciona un nivel de confianza del 94.5%, podemos calcular el valor crítico de z utilizando la distribución normal estándar, sabiendo que los extremos que acumulan el 5.5% (1 - 0.945) deben repartirse en ambos lados de la distribución, 2.75% o 0.0275 en cada cola. El valor crítico z correspondiente a un área acumulada de 0.9725 (1 - 0.0275) es aproximadamente 1.96 (aunque el valor exacto de z para 94.5% no es comúnmente usado y puede requerir de una tabla de valores z más detallada o de un software estadístico para obtener el valor exacto, asumiré que el ejercicio espera el uso del valor convencional de 1.96). Dados: - \( n = \) tamaño de la muestra = 200 - \( X = \) número de éxitos (personas que apoyan la propuesta) = 114 - \( p = \frac{X}{n} = \frac{114}{200} = 0.57 \) (proporción muestral) El intervalo de confianza se calcula de la siguiente manera: \( \hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \) Donde \( \hat{p} \) es la proporción muestral y \( z \) es el valor crítico de z que representa la confianza deseada. Aplicando estos valores: Error estándar \( = \sqrt{\frac{0.57 \cdot (1 - 0.57)}{200}} \) \( = \sqrt{\frac{0.57 \cdot 0.43}{200}} \) \( = \sqrt{\frac{0.2449}{200}} \) \( = \sqrt{0.0012245} \) \( ≈ 0.035 \) Por lo tanto, el intervalo de confianza es: \( 0.57 \pm 1.96 \cdot 0.035 \) \( 0.57 \pm 0.0686 \) Calculando los extremos del intervalo obtenemos: Límite inferior: \( 0.57 - 0.0686 = 0.5014 \) o 50.14% Límite superior: \( 0.57 + 0.0686 = 0.6386 \) o 63.86% Por tanto, el intervalo de confianza al 94.5% es aproximadamente desde 50.14% hasta 63.86%. Para la parte (B), se pide calcular el tamaño de la muestra para obtener un intervalo de confianza con un error específico y una confianza determinada. Se utiliza la fórmula para el tamaño de la muestra en función del error máximo permisible (\( E \)): \[ n = \left(\frac{z \cdot \sqrt{p(1 - p)}}{E}\right)^2 \] Por la información dada, sabemos que: - \( E = \) error máximo permisible = 5.29% o 0.0529 - \( z \) para un nivel de confianza del 98.7% es aproximadamente 2.17 (esto debe ser comprobado en una tabla de valores z adecuada o con software estadístico, ya que 98.7% es un porcentaje no estándar pero para simplificar asumiré este valor de z) - \( p = 0.57 \) (proporción estimada como en la parte A) Calculamos \( n \): \[ n = \left(\frac{2.17 \cdot \sqrt{0.57(1 - 0.57)}}{0.0529}\right)^2 \] \[ n = \left(\frac{2.17 \cdot \sqrt{0.2449}}{0.0529}\right)^2 \] \[ n = \left(\frac{2.17 \cdot 0.4949}{0.0529}\right)^2 \] \[ n = \left(\frac{1.0745}{0.0529}\right)^2 \] \[ n = (20.2991)^2 \] \[ n ≈ 412.0651 \] El tamaño de la muestra requerido sería de aproximadamente 413 votantes (redondeando al siguiente número entero más grande, ya que no se pueden tener fracciones de un votante).
Estimating Sample Size for Proportion Estimation
Para estimar el tamaño necesario de la muestra para una proporción con un cierto nivel de confianza y un margen de error, se puede usar la fórmula del tamaño de la muestra para proporciones: \[ n = \left(\frac{Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2}\right) \] Donde: - \( n \) es el tamaño de la muestra. - \( Z \) es el valor z para el nivel de confianza deseado (para un nivel de confianza del 90%, se usa \( Z = 1.645 \), esto corresponde al valor crítico z que tiene 5% en dos colas distribuidas normalmente (90% en medio y 5% en cada extremo)). - \( p \) es la proporción esperada (en este caso, la probabilidad de ocurrencia de embarazos de 20% o 0.2). - \( E \) es el margen de error permitido expresado como decimal (para un error del 10%, \( E = 0.10 \)). Reemplazando los valores en la fórmula, obtenemos: \[ n = \left(\frac{(1.645)^2 \cdot 0.2 \cdot (1-0.2)}{(0.10)^2}\right) \] Ahora, realizamos las operaciones correspondientes: 1. \( (1.645)^2 = 2.70602 \) 2. \( 0.2 \cdot 0.8 = 0.16 \) 3. \( (0.10)^2 = 0.01 \) Multiplicamos los resultados de los pasos 1 y 2, y luego dividimos por el resultado del paso 3: \[ n = \left(\frac{2.70602 \cdot 0.16}{0.01}\right) \] \[ n = \left(\frac{0.4329632}{0.01}\right) \] \[ n = 43.29632 \] Como el tamaño de la muestra no puede ser fraccionario, se redondea al número entero más cercano. Si se desea ser conservador y garantizar el nivel de confianza y el margen de error, se debe redondear hacia arriba: \[ n ≈ 44 \] Por lo tanto, se necesitarían al menos 44 adolescentes embarazadas para estudiar y estimar la proporción de casos de violencia en una población de embarazadas con un nivel de confianza del 90% y un error máximo admitido del 10%.
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