Example Question - exponential solution
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Differential Equation with Exponential Nonhomogeneous Term
<p>La ecuación diferencial dada es \( ay'' + by' + cy = e^{\lambda x} \), y la ecuación auxiliar es \( am^2 + bm + c = 0 \).</p> <p>Suponemos una solución particular de la forma \( y_p = Ae^{\lambda x} \).</p> <p>Sustituimos \( y_p \) en la ecuación diferencial original:</p> <p>\( a(Ae^{\lambda x})'' + b(Ae^{\lambda x})' + c(Ae^{\lambda x}) = e^{\lambda x} \)</p> <p>\( aA\lambda^2e^{\lambda x} + bA\lambda e^{\lambda x} + cAe^{\lambda x} = e^{\lambda x} \)</p> <p>Factorizamos \( Ae^{\lambda x} \):</p> <p>\( Ae^{\lambda x}(a\lambda^2 + b\lambda + c) = e^{\lambda x} \)</p> <p>Como \( \lambda \) no es raíz de la ecuación auxiliar, \( a\lambda^2 + b\lambda + c \neq 0 \).</p> <p>Por lo tanto, podemos dividir ambos lados de la ecuación por \( e^{\lambda x} \) y por \( a\lambda^2 + b\lambda + c \):</p> <p>\( A = \frac{1}{a\lambda^2 + b\lambda + c} \)</p> <p>Así que se puede encontrar una solución particular de la forma:</p> <p>\( y_p = \frac{1}{a\lambda^2 + b\lambda + c} e^{\lambda x} \)</p>
Differential Equation with Exponential Nonhomogeneous Term
Para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial dada \(a y'' + b y' + c y = e^{kx}\), asumimos una solución de la forma \(y_p = Ae^{kx}\). Sustituimos \(y_p\), \(y_p'\), y \(y_p''\) en la ecuación diferencial original: <p>\(y_p'' = A k^2 e^{kx}\)</p> <p>\(y_p' = A k e^{kx}\)</p> <p>\(y_p = A e^{kx}\)</p> <p>\(a(A k^2 e^{kx}) + b(A k e^{kx}) + c(A e^{kx}) = e^{kx}\)</p> <p>\(A(ak^2 + bk + c)e^{kx} = e^{kx}\)</p> Ya que \(e^{kx}\) no es cero, podemos resolver para \(A\): <p>\(A(ak^2 + bk + c) = 1\)</p> <p>\(A = \frac{1}{ak^2 + bk + c}\)</p> Este es el valor de \(A\) siempre y cuando \(k\) no sea una raíz de la ecuación auxiliar \(am^2+ bm + c = 0\). Si \(k\) fuera una raíz, el denominador \(ak^2 + bk + c\) sería cero y la solución no sería válida.
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