Differential Equation Non-exactness and Alternative Solution Approach
Para demostrar que la ecuación diferencial dada no es exacta, se debe verificar si el diferencial de \( M(x, y)dx + N(x, y)dy \) satisface la condición de exactitud. En otras palabras, se debe verificar si \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \). Si esta igualdad no se sostiene, entonces la ecuación no es exacta.
<p>Dada la ecuación diferencial \( (x - \sqrt{x^2 + y^2})dx + ydy = 0 \), identifiquemos \( M(x, y) = x - \sqrt{x^2 + y^2} \) y \( N(x, y) = y \).</p>
<p>Calculamos las derivadas parciales de \( M \) y \( N \):</p>
<p>\( \frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \)</p>
<p>\( \frac{\partial N}{\partial x} = 0 \)</p>
<p>Como \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), la ecuación diferencial no es exacta.</p>
Para mostrar cómo el reordenamiento y la observación conducen a una solución, primero reescribimos la ecuación diferencial como \( \frac{dx + ydy}{\sqrt{x^2 + y^2}} = dx \). Luego, se puede aplicar la observación dada:
<p>\( \frac{1}{2}d(x^2 + y^2) = xdx + ydy \), que implica que</p>
<p>\( d\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{dx + ydy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \).</p>
<p>Integrando ambos lados de la ecuación, obtenemos:</p>
<p>\( \int d\sqrt{x^2 + y^2} = \int dx \)</p>
<p>\( \sqrt{x^2 + y^2} = x + C \),</p>
<p>donde \( C \) es la constante de integración.</p>
<p>Esta es una posible solución a la ecuación diferencial dada.</p>
