Example Question - existence
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Differential Equation Existence and Uniqueness Theorem
La ecuación diferencial dada es <p>\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> Para resolverla, utilizaremos la separación de variables. <p>\[\frac{dP}{P(1 - P)} = dt\]</p> Para resolver el lado izquierdo de la ecuación, realizamos descomposición en fracciones parciales. <p>\[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}\]</p> <p>\[1 = A(1 - P) + BP\]</p> <p>\[1 = A + P(B - A)\]</p> Podemos equiparar coeficientes para encontrar que \(A = 1\) y \(B - A = 0\), de donde \(B = 1\). <p>\[\frac{dP}{P(1 - P)} = \frac{dP}{P} + \frac{dP}{1 - P}\]</p> Integramos ambos lados de la ecuación. <p>\[\int \frac{dP}{P} + \int \frac{dP}{1 - P} = \int dt\]</p> <p>\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]</p> <p>\[\ln|\frac{P}{1 - P}| = t + C\]</p> Resolviendo para \(P\), tenemos <p>\[\frac{P}{1 - P} = e^{t+C}\]</p> <p>\[P = (1 - P)e^{t+C}\]</p> <p>\[P(1 + e^{t+C}) = e^{t+C}\]</p> <p>\[P = \frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\]</p> Donde \(\frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\) es la solución general de la ecuación diferencial. En cuanto al teorema de existencia y unicidad, este puede aplicarse cuando las funciones \(f(t, y)\) y \(\frac{\partial f}{\partial y}\) son continuas en algún rectángulo que contiene el punto \((t_0, y_0)\). En este caso, \(f(t, P) = P(1 - P)\), y su derivada parcial respecto de \(P\) es \(\frac{\partial f}{\partial P} = 1 - 2P\), las cuales son continuas para todo \(P\) en \(\mathbb{R}\). Por lo tanto, no existe un punto \((t, P)\) donde no se pueda garantizar el teorema de existencia y unicidad.
Differential Equation and Existence and Uniqueness Theorem
<p>La ecuación diferencial dada es:</p> \[ \frac{dP}{dt} = P(1 - P) \] <p>Para encontrar un punto \( (t, P(t)) \) donde el teorema de existencia y unicidad no se garantiza, necesitamos identificar puntos donde las funciones \( f(t, P) = P(1 - P) \) y su derivada parcial con respecto a \( P \), \( \frac{\partial f}{\partial P} \), no son continuas o no están definidas. </p> <p>La función \( f(t, P) \) es continua y diferenciable con respecto a \( P \) en todo \( \mathbb{R}^2 \). Por lo tanto, no hay puntos en el plano \( (t, P) \) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse basado en la continuidad y diferenciabilidad de \( f \) y \( \frac{\partial f}{\partial P} \).</p> <p>Dicho esto, la ecuación diferencial original no presenta una situación donde el teorema de existencia y unicidad no se podría garantizar, ya que no hay singularidades ni discontinuidades.</p>
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