Differential Equation and Existence-Uniqueness Theorem
La ecuación diferencial proporcionada es:
\[
\frac{dP}{dt} = P(1 - P)
\]
Para resolverla, podemos separar las variables \(P\) y \(t\):
\[
\frac{1}{P(1 - P)} dP = dt
\]
Integrando ambos lados obtenemos:
\[
\int \frac{1}{P(1 - P)} dP = \int dt
\]
La fracción del lado izquierdo se puede descomponer en fracciones parciales:
\[
\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}
\]
Al resolver para \(A\) y \(B\), encontramos que \(A = 1\) y \(B = 1\). Por lo tanto, la integral se convierte en:
\[
\int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P} \right) dP = t + C
\]
Las integrales de las fracciones se pueden calcular como:
\[
\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C
\]
Resolver para \(P\):
\[
\ln\left|\frac{P}{1 - P}\right| = t + C
\]
Tomando la exponencial de ambos lados para deshacernos del logaritmo natural:
\[
\frac{P}{1 - P} = e^{t + C}
\]
Donde \(e^{C}\) es una nueva constante que podemos llamar \(C_1\) para simplificar:
\[
P = \frac{e^{t + C}}{1 + e^{t + C}} = \frac{C_1e^{t}}{1 + C_1e^{t}}
\]
Con respecto al teorema de existencia y unicidad, para una ecuación diferencial de primer orden de la forma \(y' = f(x,y)\), si \(f(x,y)\) y \(\partial f/\partial y\) son continuas en una región que contiene al punto \((x_0, y_0)\), entonces existe una solución única que pasa por ese punto. En esta ecuación \(f(P) = P(1 - P)\) es continua y la derivada parcial \(\partial f/\partial P = 1 - 2P\) también es continua para todo \(P\), por lo que el teorema de existencia y unicidad garantiza que para cualquier valor inicial \(P_0\) existe una solución única en algún intervalo alrededor de \(t_0\).
Sin embargo, se nos pide mencionar un punto \((x_0, y_0)\) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse. No hay tal punto en este caso porque ambas \(f(P)\) y \(\partial f/\partial P\) son continuas para todos los reales \(P\).
