Example Question - cramer's rule
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a System of Linear Equations Using Cramer's Rule
Para resolver el sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer, primero escribimos las ecuaciones en la forma \( Ax = B \), donde \( A \) es la matriz de coeficientes, \( x \) es la matriz de variables, y \( B \) es la matriz de términos constantes. Las ecuaciones dadas son: \[ \begin{align*} 4x + 2y &= 13 \\ 2x + 2y &= 5 \end{align*} \] La matriz de coeficientes \( A \) es: \[ A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \] La matriz de términos constantes \( B \) es: \[ B = \begin{bmatrix} 13 \\ 5 \end{bmatrix} \] Para hallar \( x \), reemplazamos la primera columna de \( A \) por \( B \) y calculamos el determinante: \[ A_x = \begin{bmatrix} 13 & 2 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} \] \[ \text{det}(A_x) = (13)(2) - (5)(2) = 26 - 10 = 16 \] Para hallar \( y \), reemplazamos la segunda columna de \( A \) por \( B \) y calculamos el determinante: \[ A_y = \begin{bmatrix} 4 & 13 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \] \[ \text{det}(A_y) = (4)(5) - (2)(13) = 20 - 26 = -6 \] El determinante de \( A \) es: \[ \text{det}(A) = (4)(2) - (2)(2) = 8 - 4 = 4 \] Entonces, las soluciones son: \[ x = \frac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} = \frac{16}{4} = 4 \] \[ y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Por lo tanto, las soluciones del sistema son \( x = 4 \) y \( y = -1.5 \).
Cramer's Rule Application to Solve a System of Equations
Primero determinemos las matrices para aplicar la regla de Cramer. La matriz de los coeficientes es: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix} \] El determinante de \( A \) es: \[ \det(A) = (4)(2) - (2)(2) = 8 - 4 = 4 \] Ahora, para la variable \( x \), reemplazamos la primera columna de \( A \) con el vector de términos constantes y calculamos su determinante: \[ A_x = \begin{pmatrix} 13 & 2\\ 5 & 2 \end{pmatrix} \] \[ \det(A_x) = (13)(2) - (5)(2) = 26 - 10 = 16 \] Y para la variable \( y \), reemplazamos la segunda columna de \( A \) con el vector de términos constantes y calculamos su determinante: \[ A_y = \begin{pmatrix} 4 & 13\\ 2 & 5 \end{pmatrix} \] \[ \det(A_y) = (4)(5) - (13)(2) = 20 - 26 = -6 \] Finalmente, utilizando la regla de Cramer, encontramos los valores de \( x \) y \( y \): \[ x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{16}{4} = 4 \] \[ y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \] Por lo tanto, la solución del sistema es \( x = 4 \) y \( y = -\frac{3}{2} \).
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