Question - Counting Possibilities for Three-Digit Numbers
Solution:
Die Berechnung der Anzahl von Möglichkeiten für dreistellige Zahlen, die aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 und 5 gebildet werden können, wobei keine Ziffer mehr als einmal vorkommt und die Zahlen von links nach rechts in aufsteigender Reihenfolge stehen, kann wie folgt gelöst werden:a. Für die erste Ziffer (hundertstellige Stelle) können wir jede der Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 wählen (die 0 ist nicht zulässig, da die Zahl nicht mit einer 0 anfangen kann). Das gibt 5 Möglichkeiten.Für die zweite Ziffer (zehnstelligen Stelle) können wir jede der verbliebenen Ziffern wählen, die größer als die erste Ziffer ist. Das bedeutet, dass wenn die erste Ziffer die 1 ist, die zweite Ziffer eine der Ziffern 2, 3, 4 oder 5 sein kann, was 4 Möglichkeiten ergibt. Falls die erste Ziffer die 2 ist, gibt es 3 Möglichkeiten für die zweite Ziffer (3, 4 oder 5), und so weiter.Für die dritte Ziffer (einerstellige Stelle) gibt es dann jeweils eine Ziffer weniger zur Auswahl als für die zweite Ziffer. Also haben wir, abhängig von der Wahl der ersten zwei Ziffern, 3, 2 oder 1 Möglichkeit(en).Wenn wir nun alle Möglichkeiten zusammenzählen, müssen wir über alle Kombinationen der ersten und zweiten Ziffer summieren. Die Anzahl an Möglichkeiten für die zweite und dritte Ziffer hängt von der ersten Ziffer ab:- Wählt man für die erste Ziffer eine 1, gibt es 4 Möglichkeiten für die zweite Ziffer und für jede dieser Möglichkeiten 3 Möglichkeiten für die dritte Ziffer. Also insgesamt 4 * 3 = 12 Möglichkeiten.- Wählt man für die erste Ziffer eine 2, gibt es 3 Möglichkeiten für die zweite Ziffer und für jede dieser Möglichkeiten 2 Möglichkeiten für die dritte Ziffer. Also insgesamt 3 * 2 = 6 Möglichkeiten.- Wählt man eine 3, gibt es 2 * 1 = 2 Möglichkeiten.- Wählt man eine 4, gibt es 1 * 1 = 1 Möglichkeit (da die einzige Möglichkeit für die zweite Ziffer die 5 ist, und keine dritte Ziffer möglich ist).Somit ergibt sich eine Gesamtzahl an Möglichkeiten von 12 + 6 + 2 + 1 = 21 Möglichkeiten.b. Alle möglichen Zahlen, die unter diesen Bedingungen erstellt werden können, sind:- Mit 1 beginnend: 123, 124, 125, 134, 135, 145.- Mit 2 beginnend: 234, 235, 245.- Mit 3 beginnend: 345.- Mit 4 beginnend: keine weiteren Zahlen möglich, da 5 die einzige verbleibende Ziffer ist und wir keine zweistelligen Zahlen zählen.Die Liste der möglichen Zahlen ist daher: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345.
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