Example Question - mathematical calculations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Mathematical Operations
Dựa vào hình ảnh bạn cung cấp, chúng ta cần thực hiện hai phép tính: 1. 30000 x 2.3 2. 40000 : 5.2 Bây giờ mình sẽ giải từng phép tính: 1. Để nhân số thập phân 2.3 với 30000, bạn có thể nhân như sau: 30000 x 2.3 = 30000 x (2 + 0.3) = 30000 x 2 + 30000 x 0.3 = 60000 + 9000 = 69000 Vậy 30000 x 2.3 bằng 69000. 2. Để chia số thập phân 5.2 cho 40000, bạn có thể thực hiện phép chia như sau: 40000 : 5.2 = 40000 / 5.2 ≈ 7692.3077 Vậy 40000 : 5.2 bằng khoảng 7692.3077. Như vậy, câu trả lời cho hai phép tính trong hình ảnh bạn cung cấp là: 30000 x 2.3 = 69000 40000 : 5.2 ≈ 7692.3077
Counting Possibilities for Three-Digit Numbers
Die Berechnung der Anzahl von Möglichkeiten für dreistellige Zahlen, die aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 und 5 gebildet werden können, wobei keine Ziffer mehr als einmal vorkommt und die Zahlen von links nach rechts in aufsteigender Reihenfolge stehen, kann wie folgt gelöst werden: a. Für die erste Ziffer (hundertstellige Stelle) können wir jede der Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 wählen (die 0 ist nicht zulässig, da die Zahl nicht mit einer 0 anfangen kann). Das gibt 5 Möglichkeiten. Für die zweite Ziffer (zehnstelligen Stelle) können wir jede der verbliebenen Ziffern wählen, die größer als die erste Ziffer ist. Das bedeutet, dass wenn die erste Ziffer die 1 ist, die zweite Ziffer eine der Ziffern 2, 3, 4 oder 5 sein kann, was 4 Möglichkeiten ergibt. Falls die erste Ziffer die 2 ist, gibt es 3 Möglichkeiten für die zweite Ziffer (3, 4 oder 5), und so weiter. Für die dritte Ziffer (einerstellige Stelle) gibt es dann jeweils eine Ziffer weniger zur Auswahl als für die zweite Ziffer. Also haben wir, abhängig von der Wahl der ersten zwei Ziffern, 3, 2 oder 1 Möglichkeit(en). Wenn wir nun alle Möglichkeiten zusammenzählen, müssen wir über alle Kombinationen der ersten und zweiten Ziffer summieren. Die Anzahl an Möglichkeiten für die zweite und dritte Ziffer hängt von der ersten Ziffer ab: - Wählt man für die erste Ziffer eine 1, gibt es 4 Möglichkeiten für die zweite Ziffer und für jede dieser Möglichkeiten 3 Möglichkeiten für die dritte Ziffer. Also insgesamt 4 * 3 = 12 Möglichkeiten. - Wählt man für die erste Ziffer eine 2, gibt es 3 Möglichkeiten für die zweite Ziffer und für jede dieser Möglichkeiten 2 Möglichkeiten für die dritte Ziffer. Also insgesamt 3 * 2 = 6 Möglichkeiten. - Wählt man eine 3, gibt es 2 * 1 = 2 Möglichkeiten. - Wählt man eine 4, gibt es 1 * 1 = 1 Möglichkeit (da die einzige Möglichkeit für die zweite Ziffer die 5 ist, und keine dritte Ziffer möglich ist). Somit ergibt sich eine Gesamtzahl an Möglichkeiten von 12 + 6 + 2 + 1 = 21 Möglichkeiten. b. Alle möglichen Zahlen, die unter diesen Bedingungen erstellt werden können, sind: - Mit 1 beginnend: 123, 124, 125, 134, 135, 145. - Mit 2 beginnend: 234, 235, 245. - Mit 3 beginnend: 345. - Mit 4 beginnend: keine weiteren Zahlen möglich, da 5 die einzige verbleibende Ziffer ist und wir keine zweistelligen Zahlen zählen. Die Liste der möglichen Zahlen ist daher: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345.
Identifying the Structure of a Pyramid from Mathematical Calculations
Die Frage in dem Bild lautet: „Übung 13: Welche Strukturen oder Pyramide steckt wohl hinter diesen Rechnungen? Die Pyramide enthält auch im Inneren Kugeln. Die Grundfläche der Pyramide ist quadratisch.“ Es folgen vier Antwortmöglichkeiten, und wir sollen herausfinden, welche die korrekte Struktur der Pyramide darstellt. Dazu müssen wir die Summe der Kugeln, die in jedem Level der Pyramide vorkommen, addieren und prüfen, ob das Ergebnis 204 ergibt. Ich werde jede Antwortmöglichkeit einzeln prüfen: a) 1+4+9+16+25+36+49+64 = 204 b) 1+3+6+10+15+21+28+36+28+21+15+10+6+3+1 = 204 c) 36+(36-1)+(36-3*1)+(36-6)+(36-10)+(36-15)+(36-21)+(36-28) = 204 d) 8+(7*8)+(7*8+7*6)+(7*8+7*6+5*2) = 204 Berechnen wir jede Option: a) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 = 204 Dies ergibt eine Summe von 204, daher könnte dies eine mögliche Antwort sein. b) Die Summe dieser Reihe entspricht der Summe der ersten 9 Dreieckszahlen (da sie symmetrisch ist mit gleichen Werten vor und nach dem Mittelwert 36), also die Summe der Zahlen von 1 bis 9, zweimal genommen, minus die Mitte (36): Summe der Zahlen von 1 bis 9: 9*(9+1)/2 = 45 45*2 (da die Sequenz symmetrisch ist) - 36 (die mittlere Zahl) 90 - 36 = 54 Dies ist weit von 204 entfernt, also ist Antwort b) falsch. c) Subtrahieren wir die entsprechenden Werte von 36: 36+(36-1)+(36-3)+(36-6)+(36-10)+(36-15)+(36-21)+(36-28) = 36+35+33+30+26+21+15+8 = 204 Dies ist eine mögliche Antwort. d) Die angegebene Formel erzeugt nicht die Anzahl von Kugeln in einer Pyramidenstruktur, daher ist es unwahrscheinlich, dass diese Formel eine Summe von 204 ergibt. Damit bleiben Option a) und Option c) als mögliche Antworten. Basierend auf der gezeigten Pyramidenform, könnten beide Antworten mit einer quadratischen Basis arbeiten. Die Antwort c) ist jedoch eine absteigende Summe, die beginnend bei einem vollen Quadrat auf jeder Ebene, fortschreitend jeder Ebene eine bestimmte Anzahl von Kugeln entfernt. Somit repräsentiert sie wahrscheinlich eine Pyramide mit abgestuften Ebenen, auf welcher jede Ebene weniger Kugeln hat als die darunter liegende (wie eine absteigende Sequenz von Quadraten). Da die Pyramide im Bild anscheinend solide zu sein scheint, ohne offensichtliche Abstufungen, und da die Formel in a) steigende Quadratzahlen beinhaltet, ist es sehr wahrscheinlich, dass die Antwort a) die richtige Struktur der Pyramide darstellt - eine solide, quadratische Pyramide, die von einer einzigen Kugel an der Spitze bis zu einem 8x8-Quadrat an der Basis aufgebaut ist.
Simplifying Mathematical Expressions
The image shows a mathematical expression that needs to be simplified: (4X^5)^3 + (2X^3)^4 To simplify this expression, you have to raise each term inside the parentheses to the power outside the parentheses. This is done by raising both the coefficient and the variable to the power. Remember that (a^m)^n = a^(mn) when you raise a power to a power. (4X^5)^3: Raising 4 to the 3rd power gives 64. Raising X^5 to the 3rd power gives X^(5*3), which is X^15. (2X^3)^4: Raising 2 to the 4th power gives 16. Raising X^3 to the 4th power gives X^(3*4), which is X^12. So, the expression simplifies as follows: (4X^5)^3 + (2X^3)^4 = 64X^15 + 16X^12 That is the simplified form of the expression provided in the image.
Solving an Expression with Square Roots
The expression given in the image is: √28 - √7 / √3 × √5 / 4 To solve it, we first simplify the square roots and then follow the order of operations. √28 can be simplified by recognizing that 28 is 4 times 7, and 4 is a perfect square: √28 = √(4×7) = √4 × √7 = 2√7 Now we can rewrite the expression: 2√7 - √7 / √3 × √5 / 4 Before going further, we should clarify the order of operations. If the expression is meant to be read as: (2√7 - √7) / (√3 × √5 / 4) we should perform the subtraction first, then the multiplication, and finally the division. However, if each square root is to be divided or multiplied individually before subtracting, we need parentheses to indicate which operations to perform first. Assuming it is the former, and the subtraction is to be done first, followed by the division and multiplication: First, subtract √7 from 2√7: 2√7 - √7 = √7 Next, multiply √3 and √5: √3 × √5 = √(3×5) = √15 Now we have: √7 / √15 × 1 / 4 To simplify this we will write √7 as √7/1 and do the division by multiplying by the reciprocal: √7/1 × 1/√15 × 1/4 Now, to simplify √7/√15, we get: √7 / √15 = √(7/15) = √(0.4667) And when we multiply by 1/4: √(7/15) × 1/4 = √(7/60) The last step cannot be nicely simplified without a calculator as 7/60 is not a perfect square, but you can leave your answer as √(7/60) or approximate it with a calculator if necessary.
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