Example Question - taylor series

Convergence Radius of Maclaurin Series

题目要求我们求解函数 \( \frac{1}{1+x^2} \) 的麦克劳林级数的收敛半径。 麦克劳林级数是泰勒级数在 \( x=0 \) 处的特殊形式。求解一个函数的泰勒级数的收敛半径通常使用比值检验或根检验。 函数 \( \frac{1}{1+x^2} \) 可以看作是 \( \frac{1}{1-u} \) 形式的几何级数的泰勒展开式，其中 \( u = -x^2 \)。对于几何级数 \( \sum u^n \)，当 \( |u| < 1 \) 时，级数收敛。 根据这个条件，为了使原级数收敛，我们有： \[ |u| = |x^2| < 1 \] 因此： \[ |x| < 1 \] 这意味着原级数的收敛半径为 1。这是因为当 \( x \) 的绝对值小于 1 时，级数收敛；当 \( x \) 的绝对值大于或等于 1 时，级数发散。 所以，根据题目给的选项，答案是 (B) 1。