Question - Complex Number Equation Simplification
Solution:
\(3 + z - 4(1+i) \cdot \overline{z} = (z - 1)i\)
Prvo ćemo distribuirati \( -4 \) kroz zagrade.\(3 + z - 4(1+i) \cdot (x - yi) = (x + yi - 1)i\), gdje je \(z = x + yi\)
Sada množimo kompletne brojeve s konjugiranim kompleksnim brojem.\(3 + x + yi - 4 \cdot (x - yi) - 4 \cdot (x - yi)i = xi - yi^2 - i\)
Imajući na umu da je \(i^2 = -1\), možemo uvijek zamijeniti \(yi^2\) sa \(-y\).\(3 + x + yi - 4x + 4yi - 4xi + 4y = xi + y - i\)
Sada grupiramo realne i imaginarene dijelove s obije strane jednadžbe.\((3 - 4x + 4y + x) + (y + 4yi - 4xi - i)i = (xi + y) - i\)
Jednakost realnih i imaginarnih dijelova mora biti zadovoljena na obije strane jednadžbe.Za realni dio:
\(3 - 3x + 4y = 0\)
\(4y = 3x - 3\)
\(y = \frac{3x - 3}{4}\)
Za imaginarni dio:
\(y - 4xi = -1\)
\(-4xi = -y - 1\)
\(xi = \frac{y + 1}{4}\)
Sada kada imamo dva izraza za \(y\) i \(xi\), možemo ih koristiti kako bismo našli rješenje za \(x\) i \(y\).\(x = \frac{y + 1}{4i}\)
\(x = \frac{\frac{3x - 3}{4} + 1}{4i}\)
\(x = \frac{3x - 3 + 4}{16i}\)
\(16xi = 3x + 1\)
\(x(16i - 3) = 1\)
\(x = \frac{1}{16i - 3}\)
\(x = \frac{1}{16i - 3} \cdot \frac{16i + 3}{16i + 3}\)
\(x = \frac{16i + 3}{256 - 9}\)
\(x = \frac{16i + 3}{247}\)
Sada kada smo našli \(x\), možemo riješiti za \(y\) koristeći izraz koji smo već izveli.\(y = \frac{3x - 3}{4}\)
\(y = \frac{3 \cdot \frac{16i + 3}{247} - 3}{4}\)
\(y = \frac{48i + 9 - 741}{988}\)
\(y = \frac{48i - 732}{988}\)
\(y = \frac{48i}{988} - \frac{732}{988}\)
\(y = \frac{6i}{123} - \frac{183}{247}\)
Tako imamo rješenje za \(z\):\(z = x + yi\)
\(z = \frac{16i + 3}{247} + \left(\frac{6i}{123} - \frac{183}{247}\right)i\)
\(z = \frac{16i + 3}{247} + \frac{6i^2}{123} - \frac{183i}{247}\)
\(z = \frac{16i + 3}{247} - \frac{6}{123} - \frac{183i}{247}\)
\(z = \frac{3 - 6 \cdot 2}{247} + \frac{16i - 183i}{247}\)
\(z = \frac{3 - 12}{247} + \frac{16i - 183i}{247}\)
\(z = \frac{-9}{247} + \frac{-167i}{247}\)
\(z = -\frac{9}{247} - \frac{167i}{247}\)
Dakle, rješenje za zadanu jednadžbu je:\(z = -\frac{9}{247} - \frac{167i}{247}\)
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com