Question - Comparison Test for Convergence of Series with Cosine Function
Solution:
在使用比较检验法来确定级数 $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 + \cos k}{k^3}$$ 的收敛性或发散性时，我们应该选一个与给定级数的每一项都相关的级数进行比较，且该级数的收敛性或发散性是已知的。因为余弦函数的值域是 $$[-1, 1]$$，所以对于所有的 $$k$$，有 $$-1 \leq \cos k \leq 1$$。这意味着 $$\cos k$$ 对 $$2 + \cos k$$ 的值的影响是有限的，并且每一项 $$\frac{2 + \cos k}{k^3}$$ 将会被包含在 $$\frac{1}{k^3}$$ 和 $$\frac{3}{k^3}$$ 之间。我们可以忽略 $$2 + \cos k$$ 中的 $$\cos k$$ 因素，因为 $$2 + \cos k$$ 的最小值是 $$2 - 1 = 1$$，最大值是 $$2 + 1 = 3$$。所以这个级数的每一项至少和 $$\frac{1}{k^3}$$ 一样大，至多和 $$\frac{3}{k^3}$$ 一样大。其实直接用 $$\frac{2}{k^3}$$ 比较就足够了，因为它能良好地代表原级数的行为，而且我们知道 $$p$$-级数 $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}$$ 当 $$p>1$$ 时收敛。所以，我们可以将给定的级数 $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 + \cos k}{k^3}$$ 与 $$p$$-级数 $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k^3}$$ 比较，因为 $$p=3 > 1$$，后者是收敛的。根据比较检验法，如果我们比较的级数收敛，且所有的比较项都大于等于原级数的对应项（正项级数），那么原级数也收敛。综上所述，根据比较检验法来确定原级数的收敛性，我们应选 (B) $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k^3}$$ 作为比较级数。
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