Example Question - convergence test
Here are examples of questions we've helped users solve.
Convergence Test for Series Involving Powers and Exponentials
好的，给定的数学问题是求无穷级数 ∑_{n=1}^∞ n^2 * 2^(3n+1) 的收敛性。 要解这个问题，我们需要判定该级数是否收敛。一个常用的方法是比较检验法。首先，让我们尝试逐项比较这个级数与一个已知收敛或发散的级数。 我们可以将给定的级数与几何级数进行比较。几何级数 ∑_{n=1}^∞ a * r^n（其中 |r| < 1）是收敛的。在这个情况下，我们可以看到级数的一般项 a_n = n^2 * 2^(3n+1) 有一个因子 2^(3n)，这提示我们可以尝试与几何级数 2^(3n) 进行比较。 比较级数可以是 8^n（因为 2^(3n) = (2^3)^n = 8^n），但是，我们需要确保比较级数的每一项都小于或等于给定级数的相应项。 现在，让我们进行比较： a_n = n^2 * 2^(3n+1) = n^2 * 2 * 8^n 我们知道 ∑ 8^n 是一个发散的级数，因为它是一个几何级数，其公比大于1。为了比较，我们需要找出一个恰当的发散级数，这样 n^2 * 2 * 8^n 是否比它大。我们可以明显地看出 n^2 * 2 会随着 n 的增大而增大，所以这个级数将会比 8^n 大很多。 因此，级数 ∑_{n=1}^∞ n^2 * 2^(3n+1) 是发散的，因为其每一项都随 n 的增大而无限增大，且与发散的几何级数 8^n 相比较，多了一个增长因子 n^2 * 2。因此，这不是一个收敛的级数。
Comparison Test for Convergence of Series with Cosine Function
在使用比较检验法来确定级数 \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 + \cos k}{k^3}\) 的收敛性或发散性时，我们应该选一个与给定级数的每一项都相关的级数进行比较，且该级数的收敛性或发散性是已知的。 因为余弦函数的值域是 \([-1, 1]\)，所以对于所有的 \(k\)，有 \(-1 \leq \cos k \leq 1\)。这意味着 \(\cos k\) 对 \(2 + \cos k\) 的值的影响是有限的，并且每一项 \(\frac{2 + \cos k}{k^3}\) 将会被包含在 \(\frac{1}{k^3}\) 和 \(\frac{3}{k^3}\) 之间。 我们可以忽略 \(2 + \cos k\) 中的 \(\cos k\) 因素，因为 \(2 + \cos k\) 的最小值是 \(2 - 1 = 1\)，最大值是 \(2 + 1 = 3\)。所以这个级数的每一项至少和 \(\frac{1}{k^3}\) 一样大，至多和 \(\frac{3}{k^3}\) 一样大。其实直接用 \(\frac{2}{k^3}\) 比较就足够了，因为它能良好地代表原级数的行为，而且我们知道 \(p\)-级数 \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}\) 当 \(p>1\) 时收敛。 所以，我们可以将给定的级数 \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 + \cos k}{k^3}\) 与 \(p\)-级数 \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k^3}\) 比较，因为 \(p=3 > 1\)，后者是收敛的。根据比较检验法，如果我们比较的级数收敛，且所有的比较项都大于等于原级数的对应项（正项级数），那么原级数也收敛。 综上所述，根据比较检验法来确定原级数的收敛性，我们应选 (B) \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k^3}\) 作为比较级数。
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