Question - Comparing Savings Accounts with Compound Interest
Solution:
Para resolver el ejercicio, primero necesitamos entender cómo cada opción afecta la cantidad de dinero a pagar después de un año, dado que las tasas de interés son diferentes y se capitalizan en distintos periodos de tiempo.1. Caja Libertad al 6% anual capitalizable bimestralmente.2. Caja Azteca al 10% anual capitalizable trimestralmente.3. Caja Olmeca al 4% anual capitalizable mensualmente.Para calcular el monto final (M) que se debe después de un año con capitalización compuesta, utilizamos la fórmula:\[ M = P(1 + \frac{r}{n})^{n \times t} \]Donde:- $$ P $$ es el principal (la cantidad original de dinero).- $$ r $$ es la tasa de interés anual (en forma decimal).- $$ n $$ es el número de veces que el interés se capitaliza por año.- $$ t $$ es el tiempo en años.Ahora aplicamos la fórmula para cada opción:1. Para Caja Libertad (6% anual, capitalizable cada 2 meses, es decir, 6 veces al año):\[ M = P(1 + \frac{0.06}{6})^{6 \times 1} \]\[ M = P(1 + 0.01)^{6} \]\[ M = P(1.01)^{6} \]\[ M \approx P \times 1.061520 \]2. Para Caja Azteca (10% anual, capitalizable cada 3 meses, es decir, 4 veces al año):\[ M = P(1 + \frac{0.10}{4})^{4 \times 1} \]\[ M = P(1 + 0.025)^{4} \]\[ M = P(1.025)^{4} \]\[ M \approx P \times 1.1038128906 \]3. Para Caja Olmeca (4% anual, capitalizable cada mes, es decir, 12 veces al año):\[ M = P(1 + \frac{0.04}{12})^{12 \times 1} \]\[ M = P(1 + 0.0033333)^{12} \]\[ M = P(1.0033333)^{12} \]\[ M \approx P \times 1.040741 \]Ahora comparamos los montos finales $$ M $$, donde $$ P $$ es el mismo en los tres escenarios. La mejor opción será aquella que tenga el monto final $$ M $$ más bajo, ya que esto significa que se debe menos dinero después de un año.Comparando los tres resultados, el número más pequeño representa el monto a pagar más bajo, y por lo tanto, la mejor opción. En este caso, es la Caja Olmeca con un 4% anual capitalizable mensualmente, que tiene el factor de crecimiento más bajo: $$ P \times 1.040741 $$.
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