Example Question - interest rates
Here are examples of questions we've helped users solve.
Comparing Investment Options with Different Interest Rates
El ejercicio consiste en comparar tres opciones distintas de inversiones o préstamos que tienen diferentes tasas de interés y periodos de capitalización. Para comparar correctamente las distintas opciones y seleccionar la mejor, necesitamos convertir las tasas de interés a una base común. La forma más sencilla de realizar esto es convertir todas las tasas de interés a una tasa anual equivalente. La tasa anual equivalente (TAE) representa el interés que se ganaría o se pagaría en un año, tomando en cuenta la capitalización de intereses en el período correspondiente. Las tres opciones son: 1. Caja Libertad al 6% con capitalización bimestral. 2. Caja Azteca al 10% con capitalización trimestral. 3. Caja Olmeca al 4% con capitalización mensual. Para convertirlas a una tasa anual equivalente, usamos la fórmula: \[ TAE = (1 + \frac{i}{n})^n - 1 \] donde \( i \) es la tasa de interés en tanto por uno (es decir, 6% es 0.06) y \( n \) es el número de veces que se capitaliza el interés al año. 1. Para Caja Libertad que capitaliza bimestralmente (6 veces al año): \[ TAE = (1 + \frac{0.06}{6})^6 - 1 \] 2. Para Caja Azteca que capitaliza trimestralmente (4 veces al año): \[ TAE = (1 + \frac{0.10}{4})^4 - 1 \] 3. Para Caja Olmeca que capitaliza mensualmente (12 veces al año): \[ TAE = (1 + \frac{0.04}{12})^{12} - 1 \] Ahora, calculamos cada TAE: 1. Para Caja Libertad: \[ TAE = (1 + \frac{0.06}{6})^6 - 1 = (1 + 0.01)^6 - 1 \] \[ TAE = (1.01)^6 - 1 \] \[ TAE = 1.061677 - 1 \] \[ TAE = 0.061677 \text{o} 6.1677\% \] 2. Para Caja Azteca: \[ TAE = (1 + \frac{0.10}{4})^4 - 1 = (1 + 0.025)^4 - 1 \] \[ TAE = (1.025)^4 - 1 \] \[ TAE = 1.10381289 - 1 \] \[ TAE = 0.10381289 \text{o} 10.381289\% \] 3. Para Caja Olmeca: \[ TAE = (1 + \frac{0.04}{12})^{12} - 1 = (1 + 0.0033333)^{12} - 1 \] \[ TAE = (1.0033333)^{12} - 1 \] \[ TAE = 1.040741 - 1 \] \[ TAE = 0.040741 \text{o} 4.0741\% \] Después de calcular las TAE para cada opción, podemos ver que la Caja Azteca ofrece la tasa anual equivalente más alta con un 10.381289%. Por lo tanto, la mejor opción sería la Caja Azteca con una tasa del 10% capitalizable trimestralmente. Esto es asumiendo que buscamos maximizar el interés ganado o minimizar el interés pagado en caso de un préstamo.
Comparing Savings Accounts with Compound Interest
Para resolver el ejercicio, primero necesitamos entender cómo cada opción afecta la cantidad de dinero a pagar después de un año, dado que las tasas de interés son diferentes y se capitalizan en distintos periodos de tiempo. 1. Caja Libertad al 6% anual capitalizable bimestralmente. 2. Caja Azteca al 10% anual capitalizable trimestralmente. 3. Caja Olmeca al 4% anual capitalizable mensualmente. Para calcular el monto final (M) que se debe después de un año con capitalización compuesta, utilizamos la fórmula: \[ M = P(1 + \frac{r}{n})^{n \times t} \] Donde: - \( P \) es el principal (la cantidad original de dinero). - \( r \) es la tasa de interés anual (en forma decimal). - \( n \) es el número de veces que el interés se capitaliza por año. - \( t \) es el tiempo en años. Ahora aplicamos la fórmula para cada opción: 1. Para Caja Libertad (6% anual, capitalizable cada 2 meses, es decir, 6 veces al año): \[ M = P(1 + \frac{0.06}{6})^{6 \times 1} \] \[ M = P(1 + 0.01)^{6} \] \[ M = P(1.01)^{6} \] \[ M \approx P \times 1.061520 \] 2. Para Caja Azteca (10% anual, capitalizable cada 3 meses, es decir, 4 veces al año): \[ M = P(1 + \frac{0.10}{4})^{4 \times 1} \] \[ M = P(1 + 0.025)^{4} \] \[ M = P(1.025)^{4} \] \[ M \approx P \times 1.1038128906 \] 3. Para Caja Olmeca (4% anual, capitalizable cada mes, es decir, 12 veces al año): \[ M = P(1 + \frac{0.04}{12})^{12 \times 1} \] \[ M = P(1 + 0.0033333)^{12} \] \[ M = P(1.0033333)^{12} \] \[ M \approx P \times 1.040741 \] Ahora comparamos los montos finales \( M \), donde \( P \) es el mismo en los tres escenarios. La mejor opción será aquella que tenga el monto final \( M \) más bajo, ya que esto significa que se debe menos dinero después de un año. Comparando los tres resultados, el número más pequeño representa el monto a pagar más bajo, y por lo tanto, la mejor opción. En este caso, es la Caja Olmeca con un 4% anual capitalizable mensualmente, que tiene el factor de crecimiento más bajo: \( P \times 1.040741 \).
Choosing an Adjustable Rate Mortgage (ARM)
The question you've provided asks which of the following is a good reason to choose an Adjustable Rate Mortgage (ARM). Of the four options given, the one that aligns best with the nature of an ARM is: D) You want to take advantage of the ups and downs of the market and don't mind the risk. An ARM typically starts with an introductory rate that is lower than the rate of a fixed mortgage, which can result in lower initial payments. However, over time, the rate can change based on the market conditions, which can be beneficial if rates go down but risky if rates go up. People who choose ARMs are often those who are willing to take the risk of fluctuating interest rates in hopes of saving money over the long term if rates remain low or decrease.
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