Comparing Savings Accounts with Compound Interest
Para resolver el ejercicio, primero necesitamos entender cómo cada opción afecta la cantidad de dinero a pagar después de un año, dado que las tasas de interés son diferentes y se capitalizan en distintos periodos de tiempo.
1. Caja Libertad al 6% anual capitalizable bimestralmente.
2. Caja Azteca al 10% anual capitalizable trimestralmente.
3. Caja Olmeca al 4% anual capitalizable mensualmente.
Para calcular el monto final (M) que se debe después de un año con capitalización compuesta, utilizamos la fórmula:
\[ M = P(1 + \frac{r}{n})^{n \times t} \]
Donde:
- \( P \) es el principal (la cantidad original de dinero).
- \( r \) es la tasa de interés anual (en forma decimal).
- \( n \) es el número de veces que el interés se capitaliza por año.
- \( t \) es el tiempo en años.
Ahora aplicamos la fórmula para cada opción:
1. Para Caja Libertad (6% anual, capitalizable cada 2 meses, es decir, 6 veces al año):
\[ M = P(1 + \frac{0.06}{6})^{6 \times 1} \]
\[ M = P(1 + 0.01)^{6} \]
\[ M = P(1.01)^{6} \]
\[ M \approx P \times 1.061520 \]
2. Para Caja Azteca (10% anual, capitalizable cada 3 meses, es decir, 4 veces al año):
\[ M = P(1 + \frac{0.10}{4})^{4 \times 1} \]
\[ M = P(1 + 0.025)^{4} \]
\[ M = P(1.025)^{4} \]
\[ M \approx P \times 1.1038128906 \]
3. Para Caja Olmeca (4% anual, capitalizable cada mes, es decir, 12 veces al año):
\[ M = P(1 + \frac{0.04}{12})^{12 \times 1} \]
\[ M = P(1 + 0.0033333)^{12} \]
\[ M = P(1.0033333)^{12} \]
\[ M \approx P \times 1.040741 \]
Ahora comparamos los montos finales \( M \), donde \( P \) es el mismo en los tres escenarios. La mejor opción será aquella que tenga el monto final \( M \) más bajo, ya que esto significa que se debe menos dinero después de un año.
Comparando los tres resultados, el número más pequeño representa el monto a pagar más bajo, y por lo tanto, la mejor opción. En este caso, es la Caja Olmeca con un 4% anual capitalizable mensualmente, que tiene el factor de crecimiento más bajo: \( P \times 1.040741 \).
