Question - Comparing Integrals of Exponential Functions
Solution:
Claro, veamos cada una de las integrales para comparar sus resultados y poder ordenarlas de menor a mayor. Vamos a resolver las integrales una por una:1. $$\int 9^x \, dx$$ Para resolver esta integral, recordemos que la integral de $$a^x$$ con respecto a x es $$\frac{a^x}{\ln(a)} + C$$, donde C es la constante de integración. Entonces:$$\int 9^x \, dx = \frac{9^x}{\ln(9)} + C$$2. $$\int e^x \, dx$$La integral de $$e^x$$ es:$$\int e^x \, dx = e^x + C$$3. $$\int \frac{2}{x^2} \, dx$$Esta es una integral de una función potencial. Reescribimos $$\frac{2}{x^2}$$ como $$2x^{-2}$$, y luego integramos:$$\int 2x^{-2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left(-\frac{1}{x}\right) + C = -\frac{2}{x} + C$$4. $$\int 16^x \, dx$$Aplicamos de nuevo la fórmula para la integral de una exponencial:$$\int 16^x \, dx = \frac{16^x}{\ln(16)} + C$$Ahora, para compararlas más fácilmente solo hace falta observar los exponentes y bases. Dado que todas son integrales indefinidas, sus resultados son funciones exponenciales más la constante de integración C.La integral número 2, que es $$e^x$$, es la función exponencial con la base más pequeña, $$e \approx 2.718$$, así que será menor que las funciones con bases 9 y 16. La integral número 3, $$-\frac{2}{x}$$, no es una función exponencial, pero su valor absoluto disminuye a medida que $$x$$ aumenta, lo que hace que sea mayor que cualquier función exponencial para valores de $$x$$ lo suficientemente grandes.Por lo tanto, el orden de menor a mayor, basándonos en las bases de las exponenciales y el comportamiento de la función racional para $$x > 0$$, es:2, 1, 4, 3La opción correcta sería la letra d) 2, 1, 4, 3.
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