Example Question - exponential functions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Comparing Integrals of Exponential Functions
Claro, veamos cada una de las integrales para comparar sus resultados y poder ordenarlas de menor a mayor. Vamos a resolver las integrales una por una: 1. \(\int 9^x \, dx\) Para resolver esta integral, recordemos que la integral de \(a^x\) con respecto a x es \(\frac{a^x}{\ln(a)} + C\), donde C es la constante de integración. Entonces: \(\int 9^x \, dx = \frac{9^x}{\ln(9)} + C\) 2. \(\int e^x \, dx\) La integral de \(e^x\) es: \(\int e^x \, dx = e^x + C\) 3. \(\int \frac{2}{x^2} \, dx\) Esta es una integral de una función potencial. Reescribimos \(\frac{2}{x^2}\) como \(2x^{-2}\), y luego integramos: \(\int 2x^{-2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left(-\frac{1}{x}\right) + C = -\frac{2}{x} + C\) 4. \(\int 16^x \, dx\) Aplicamos de nuevo la fórmula para la integral de una exponencial: \(\int 16^x \, dx = \frac{16^x}{\ln(16)} + C\) Ahora, para compararlas más fácilmente solo hace falta observar los exponentes y bases. Dado que todas son integrales indefinidas, sus resultados son funciones exponenciales más la constante de integración C. La integral número 2, que es \(e^x\), es la función exponencial con la base más pequeña, \(e \approx 2.718\), así que será menor que las funciones con bases 9 y 16. La integral número 3, \(-\frac{2}{x}\), no es una función exponencial, pero su valor absoluto disminuye a medida que \(x\) aumenta, lo que hace que sea mayor que cualquier función exponencial para valores de \(x\) lo suficientemente grandes. Por lo tanto, el orden de menor a mayor, basándonos en las bases de las exponenciales y el comportamiento de la función racional para \(x > 0\), es: 2, 1, 4, 3 La opción correcta sería la letra d) 2, 1, 4, 3.
Derivative of e^(2x) / e^(4x)
На изображении представлено математическое выражение для производной функции y': y' = e^(2x) / e^(4x) Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства степеней. В частности, при делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: a^(m) / a^(n) = a^(m-n) Применим это свойство к нашему выражению: y' = e^(2x) / e^(4x) = e^(2x - 4x) = e^(-2x) Таким образом, производная функции y равна e^(-2x).
Behavior of Exponential and Polynomial Functions in Limits
The limit presented in the image is: \[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{3e^x - 2}{x^3} \] To solve this, we need to assess the behavior of the numerator and the denominator as x approaches infinity. The term \(3e^x\) grows exponentially as x approaches infinity, while the \(x^3\) term grows at a cubic rate. Since exponential growth (in this case \(e^x\)) outpaces any polynomial growth (\(x^3\)), the numerator will become infinitely larger compared to the denominator. Therefore, as \(x\) approaches infinity, the fraction \(\frac{3e^x - 2}{x^3}\) will approach infinity. Thus, the limit is: \[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{3e^x - 2}{x^3} = \infty \]
Solving Exponential Equation with Substitution
The image shows an equation: \[e^{2x} - 4 \cdot 2^x + 4 = 0\] To solve this equation, let's apply a substitution. Notice that the terms \(e^{2x}\) and \(2^x\) suggest that we can set \(u = 2^x\). Then \(e^{2x} = (e^x)^2 = (2^x)^2 = u^2\). Our equation now becomes: \[u^2 - 4u + 4 = 0\] Now, factor this quadratic equation: \[(u - 2)^2 = 0\] Solving for \(u\), we get \(u = 2\). Since we set \(u = 2^x\), we now have: \[2^x = 2\] Taking the logarithm base 2 of both sides gives: \[x \cdot \log_2(2) = \log_2(2)\] \[\Rightarrow x = 1\] So, the solution to the equation is \(x = 1\).
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