Comparing Integrals of Exponential Functions
Claro, veamos cada una de las integrales para comparar sus resultados y poder ordenarlas de menor a mayor. Vamos a resolver las integrales una por una:
1. \(\int 9^x \, dx\)
Para resolver esta integral, recordemos que la integral de \(a^x\) con respecto a x es \(\frac{a^x}{\ln(a)} + C\), donde C es la constante de integración. Entonces:
\(\int 9^x \, dx = \frac{9^x}{\ln(9)} + C\)
2. \(\int e^x \, dx\)
La integral de \(e^x\) es:
\(\int e^x \, dx = e^x + C\)
3. \(\int \frac{2}{x^2} \, dx\)
Esta es una integral de una función potencial. Reescribimos \(\frac{2}{x^2}\) como \(2x^{-2}\), y luego integramos:
\(\int 2x^{-2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left(-\frac{1}{x}\right) + C = -\frac{2}{x} + C\)
4. \(\int 16^x \, dx\)
Aplicamos de nuevo la fórmula para la integral de una exponencial:
\(\int 16^x \, dx = \frac{16^x}{\ln(16)} + C\)
Ahora, para compararlas más fácilmente solo hace falta observar los exponentes y bases. Dado que todas son integrales indefinidas, sus resultados son funciones exponenciales más la constante de integración C.
La integral número 2, que es \(e^x\), es la función exponencial con la base más pequeña, \(e \approx 2.718\), así que será menor que las funciones con bases 9 y 16. La integral número 3, \(-\frac{2}{x}\), no es una función exponencial, pero su valor absoluto disminuye a medida que \(x\) aumenta, lo que hace que sea mayor que cualquier función exponencial para valores de \(x\) lo suficientemente grandes.
Por lo tanto, el orden de menor a mayor, basándonos en las bases de las exponenciales y el comportamiento de la función racional para \(x > 0\), es:
2, 1, 4, 3
La opción correcta sería la letra d) 2, 1, 4, 3.
