Question - Combination of Ascending Three-Digit Numbers from 0 to 5
mathcombinatoricsascending three-digit numberscombination without repetitionmathematical permutations
Solution:
Die Aufgabe lautet:Aus den sechs Ziffernkarten 0, 1, 2, 3, 4 und 5 sollen höchstens dreistellige Zahlen gebildet werden, bei denen keine Ziffer mehrfach auftritt und bei denen die Zahlenwerte der Ziffern nach dem Ziehen von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden. (Es werden 3 Ziffernkarten gezogen.)a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Berechnen Sie die Anzahl ohne nachzuzählen.b. Stellen Sie alle Zahlen, die entstehen können, in einer fließenden Übersicht dar.Um diese Aufgabe zu lösen, nutzen wir die Kombinatorik. Da aus 6 möglichen Ziffern 3 ohne Wiederholung gezogen werden und die Reihenfolge von Bedeutung ist (die Zahlen müssen ansteigend sortiert sein), handelt es sich um eine Kombination ohne Wiederholung.Die Anzahl der Möglichkeiten für eine Kombination ohne Wiederholung berechnet sich durch die binomische Formel:$$ C(n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} $$wobei- $$ n $$ die Gesamtzahl der verfügbaren Optionen ist,- $$ k $$ die Anzahl der Optionen ist, die gewählt werden, und- $$ ! $$ das Fakultätszeichen ist, welches das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu dieser Zahl darstellt.Für diese Aufgabe ist $$ n = 6 $$ (da wir 6 Ziffern haben) und $$ k = 3 $$ (da wir eine 3-stellige Zahl bilden).Also wird die Anzahl der möglichen 3-stelligen Zahlen berechnet durch:$$ C(6, 3) = \frac{6!}{3! (6 - 3)!} $$$$ C(6, 3) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} $$$$ C(6, 3) = 20 $$a. Es gibt 20 Möglichkeiten, eine dreistellige Zahl zu bilden, bei der keine Ziffer sich wiederholt und die Ziffern in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind.b. Um alle Zahlen darzustellen, die gebildet werden können, listen wir sie auf:012, 013, 014, 015, 023, 024, 025, 034, 035, 045,123, 124, 125, 134, 135, 145,234, 235, 245,345Diese Zahlen stellen alle möglichen Kombinationen der Ziffern 0 bis 5 in aufsteigender Reihenfolge dar, wenn keine Ziffer mehrfach in einer Zahl verwendet wird.
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