Example Question - mathematical permutations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Combination of Ascending Three-Digit Numbers from 0 to 5
Die Aufgabe lautet: Aus den sechs Ziffernkarten 0, 1, 2, 3, 4 und 5 sollen höchstens dreistellige Zahlen gebildet werden, bei denen keine Ziffer mehrfach auftritt und bei denen die Zahlenwerte der Ziffern nach dem Ziehen von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden. (Es werden 3 Ziffernkarten gezogen.) a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Berechnen Sie die Anzahl ohne nachzuzählen. b. Stellen Sie alle Zahlen, die entstehen können, in einer fließenden Übersicht dar. Um diese Aufgabe zu lösen, nutzen wir die Kombinatorik. Da aus 6 möglichen Ziffern 3 ohne Wiederholung gezogen werden und die Reihenfolge von Bedeutung ist (die Zahlen müssen ansteigend sortiert sein), handelt es sich um eine Kombination ohne Wiederholung. Die Anzahl der Möglichkeiten für eine Kombination ohne Wiederholung berechnet sich durch die binomische Formel: \( C(n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} \) wobei - \( n \) die Gesamtzahl der verfügbaren Optionen ist, - \( k \) die Anzahl der Optionen ist, die gewählt werden, und - \( ! \) das Fakultätszeichen ist, welches das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu dieser Zahl darstellt. Für diese Aufgabe ist \( n = 6 \) (da wir 6 Ziffern haben) und \( k = 3 \) (da wir eine 3-stellige Zahl bilden). Also wird die Anzahl der möglichen 3-stelligen Zahlen berechnet durch: \( C(6, 3) = \frac{6!}{3! (6 - 3)!} \) \( C(6, 3) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \) \( C(6, 3) = 20 \) a. Es gibt 20 Möglichkeiten, eine dreistellige Zahl zu bilden, bei der keine Ziffer sich wiederholt und die Ziffern in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind. b. Um alle Zahlen darzustellen, die gebildet werden können, listen wir sie auf: 012, 013, 014, 015, 023, 024, 025, 034, 035, 045, 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345 Diese Zahlen stellen alle möglichen Kombinationen der Ziffern 0 bis 5 in aufsteigender Reihenfolge dar, wenn keine Ziffer mehrfach in einer Zahl verwendet wird.
Determining Possible Three-Digit Numbers
Auf der Grundlage der Anweisungen im Bild wird gefordert, die Anzahl verschiedener dreistelliger Zahlen zu bestimmen, die mit den Ziffern 0, 1, 2, 3 und 4 gebildet werden können, ohne wiederholte Ziffern zu verwenden. Dann sollen die möglichen Zahlen in einer informativen Übersicht dargestellt werden. Teil a) Wie viele Möglichkeiten gibt es? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Anzahl der möglichen Kombinationen dieser Ziffern für jede Position der Zahl (Hunderter-, Zehner- und Einerstelle) berücksichtigen. Für die erste Ziffer, die Hunderterstelle, können nur die Ziffern 1, 2, 3 oder 4 verwendet werden, da ein Zahl nicht mit einer Null beginnen kann. Das ergibt an dieser Stelle 4 Möglichkeiten. Für die zweite Ziffer, die Zehnerstelle, können wir nicht die Ziffer verwenden, die bereits für die Hunderterstelle ausgewählt wurde, aber wir können jetzt die 0 verwenden. Damit haben wir für die Zehnerstelle wiederum 4 Möglichkeiten (5 Ziffern minus die bereits verwendete). Für die dritte Ziffer, die Einerstelle, können wir die beiden bereits verwendeten Ziffern nicht mehr verwenden. Das lässt uns 3 Möglichkeiten. Um die Gesamtanzahl der Kombinationen zu erhalten, multiplizieren wir die Anzahl der Möglichkeiten für jede Stelle: 4 (Hunderter) * 4 (Zehner) * 3 (Einer) = 48. Daher gibt es 48 mögliche dreistellige Zahlen, die mit den gegebenen Ziffern gebildet werden können. Teil b) Stellen Sie alle Zahlen, die entstehen können, in einer informativen Übersicht dar. Um die Übersicht zu erstellen, listen wir die möglichen Zahlen auf, indem wir alle Kombinationen durchgehen, ohne Ziffern zu wiederholen. Hier ist ein Weg, um dies zu strukturieren: - Wählen Sie die erste Ziffer für die Hunderterstelle (4 Möglichkeiten: 1, 2, 3, 4). - Wählen Sie eine nicht verwendete Ziffer für die Zehnerstelle (unter den verbliebenen 4 Möglichkeiten). - Wählen Sie eine von den beiden verbleibenden Ziffern für die Einerstelle (unter den verbliebenen 3 Möglichkeiten). Indem wir diesen Prozess für jede mögliche Ziffer der Hunderterstelle wiederholen, erstellen wir eine vollständige Liste aller 48 Zahlen. Beispiel: Für die Hunderterstelle „1“: - 1_ _ : 10 Möglichkeiten, indem wir 0, 2, 3, 4 auf Zehner- und Einerstelle verteilen. ... und so weiter für jede Ziffer auf der Hunderterstelle. Wiederholen Sie den Prozess für jede der verbleibenden Ziffern auf der Hunderterstelle, um die Liste zu vervollständigen.
Forming Unique Three-Digit Numbers from 0, 1, 2, 3
Die Aufgabenstellung lautet: "Aus den vier Ziffernkarten 0, 1, 2 und 3 sollen höchstens dreistellige Zahlen gebildet werden, ohne dass eine Ziffer mehrfach auftritt." Es werden 3 Ziffernkarten gezogen. a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Berechnen Sie die Anzahl ohne nachzuzählen. Zu a: Für die erste Ziffer der Zahl haben wir 3 Möglichkeiten, da es eine dreistellige Zahl sein soll und eine führende Null nicht möglich ist (also können wir nur 1, 2 oder 3 wählen). Nachdem die erste Ziffer gewählt wurde, bleiben noch 3 Ziffernkarten übrig (0 inkludiert), aus denen wir für die zweite Ziffer der Zahl wählen können. Für die dritte und letzte Ziffer bleiben dann nur noch 2 Ziffernkarten übrig. Wir können die Anzahl der möglichen Kombinationen berechnen, indem wir die Anzahl der Möglichkeiten für jede Ziffer miteinander multiplizieren, also: 3 (Möglichkeiten für die erste Ziffer) * 3 (Möglichkeiten für die zweite Ziffer) * 2 (Möglichkeiten für die dritte Ziffer) = 3 * 3 * 2 = 18. Es gibt also insgesamt 18 mögliche dreistellige Zahlen, die aus den Ziffern 0, 1, 2 und 3 gebildet werden können, ohne dass sich eine Ziffer wiederholt. b. Zu b: Diese Möglichkeiten können systematisch mit Hilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden. Jeder Pfad entlang des Diagramms stellt eine einzigartige Kombination der Ziffern dar. Im Baumdiagramm beginnt man normalerweise mit der ersten Ziffer und fügt dann Zweige hinzu, die alle möglichen Ziffern für die zweite und dritte Position darstellen. Da ich hier das Baumdiagramm nicht zeichnen kann, erkläre ich Ihnen, wie Sie es aufzeichnen können: 1. Beginnen Sie mit einem Ast für jede der drei möglichen Ziffern für die erste Position (1, 2 oder 3). 2. Für jeden dieser Äste fügen Sie drei Äste für die zweite Position hinzu, wobei Sie darauf achten, nicht die gleiche Ziffer wie für die erste Position zu verwenden. 3. Anschließend zeichnen Sie für jede dieser Kombinationen zwei Äste für die dritte Position und schließen auch hier die bereits verwendeten Ziffern aus. 4. Jeder Pfad von der Wurzel des Baumes bis zu seinen Blättern repräsentiert eine der 18 Möglichkeiten.
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