Example Question - combination without repetition
Here are examples of questions we've helped users solve.
Combination of Ascending Three-Digit Numbers from 0 to 5
Die Aufgabe lautet: Aus den sechs Ziffernkarten 0, 1, 2, 3, 4 und 5 sollen höchstens dreistellige Zahlen gebildet werden, bei denen keine Ziffer mehrfach auftritt und bei denen die Zahlenwerte der Ziffern nach dem Ziehen von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden. (Es werden 3 Ziffernkarten gezogen.) a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Berechnen Sie die Anzahl ohne nachzuzählen. b. Stellen Sie alle Zahlen, die entstehen können, in einer fließenden Übersicht dar. Um diese Aufgabe zu lösen, nutzen wir die Kombinatorik. Da aus 6 möglichen Ziffern 3 ohne Wiederholung gezogen werden und die Reihenfolge von Bedeutung ist (die Zahlen müssen ansteigend sortiert sein), handelt es sich um eine Kombination ohne Wiederholung. Die Anzahl der Möglichkeiten für eine Kombination ohne Wiederholung berechnet sich durch die binomische Formel: \( C(n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} \) wobei - \( n \) die Gesamtzahl der verfügbaren Optionen ist, - \( k \) die Anzahl der Optionen ist, die gewählt werden, und - \( ! \) das Fakultätszeichen ist, welches das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu dieser Zahl darstellt. Für diese Aufgabe ist \( n = 6 \) (da wir 6 Ziffern haben) und \( k = 3 \) (da wir eine 3-stellige Zahl bilden). Also wird die Anzahl der möglichen 3-stelligen Zahlen berechnet durch: \( C(6, 3) = \frac{6!}{3! (6 - 3)!} \) \( C(6, 3) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \) \( C(6, 3) = 20 \) a. Es gibt 20 Möglichkeiten, eine dreistellige Zahl zu bilden, bei der keine Ziffer sich wiederholt und die Ziffern in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind. b. Um alle Zahlen darzustellen, die gebildet werden können, listen wir sie auf: 012, 013, 014, 015, 023, 024, 025, 034, 035, 045, 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345 Diese Zahlen stellen alle möglichen Kombinationen der Ziffern 0 bis 5 in aufsteigender Reihenfolge dar, wenn keine Ziffer mehrfach in einer Zahl verwendet wird.
Combinatorics Problem: PIN Creation and Permutations
Die Aufgabe lautet: a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen PIN aus 4 Ziffern zu erstellen, wenn es sich um unterschiedliche Ziffern handeln soll? Welcher kombinatorischen Grundsituation ist die obige Aufgabenstellung zuzuordnen? Kreuzen Sie den richtigen Term an und begründen Sie. Die Optionen sind: i) \( n^k \) ii) \( \frac{n!}{(n-k)!} \) iii) \( \binom{n}{k} \) iv) \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) Die Antwort auf diese Frage ist Option ii), \( \frac{n!}{(n-k)!} \), weil dies eine Permutation ohne Wiederholung darstellt. Da wir 4 Ziffern für den PIN auswählen, ohne sie zu wiederholen, aus einer Gesamtmenge von 10 möglichen Ziffern (0-9), ergibt sich das durch: Es gibt 10 Optionen für die erste Ziffer, 9 für die zweite, 8 für die dritte und 7 für die vierte Ziffer. Also: \( P(10, 4) = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \) Da wir die untereinanderfolgenden natürlichen Zahlen von 10 aufwärts zählen und mit 7 stoppen. b) Formulieren Sie die obige Aufgabenstellung so um, dass sie sich einer der anderen drei Grundsituationen zuordnen lässt. Geben Sie den dazugehörigen Term (mit eingesetzten Zahlen) an. Einer der anderen drei Grundsituationen könnte eine Kombination ohne Wiederholung sein. Das bedeutet, dass die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird. Wenn wir also statt des 4-stelligen PINs eine Auswahl von 4 Ziffern treffen wollten, unabhängig von der Reihenfolge, in der sie angeordnet sind, dann würde das einer Kombination entsprechen. Option iii), \( \binom{n}{k} \), ist der Term, der diese Situation repräsentiert: \( \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \times 6!} \) Das wäre der Fall, wenn man zum Beispiel 4 Ziffern für eine Lotterieziehung aussucht, bei der die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, keine Rolle spielt.
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