Calculation of Tangent Angle with Given Secant Value
La imagen muestra un problema matemático que dice lo siguiente:
"Si \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \) y \( \sec(x) = -\frac{13}{5} \), ¿cuánto es el valor de \( \tan \left(\frac{\pi}{4} + x \right) \)?"
Para resolver este problema, primero debemos recordar que la secante de un ángulo \( x \) es igual al inverso del coseno de \( x \): \( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \). Dado que nos han proporcionado que \( \sec(x) = -\frac{13}{5} \), podemos calcular el coseno de \( x \):
\[ \cos(x) = -\frac{5}{13} \]
Ahora, necesitamos encontrar el seno de \( x \). Ya que sabemos que el ángulo está en el tercer cuadrante (donde seno y coseno son negativos), y que la identidad pitagórica \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) se mantiene siempre, tenemos:
\[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \]
\[ \sin^2(x) = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 \]
\[ \sin^2(x) = 1 - \frac{25}{169} \]
\[ \sin^2(x) = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} \]
\[ \sin^2(x) = \frac{144}{169} \]
Tomando la raíz cuadrada para encontrar el seno y recordando que debe ser negativo (pues estamos en el tercer cuadrante), obtenemos:
\[ \sin(x) = -\frac{12}{13} \]
Ahora, vamos a calcular la tangente de \( \frac{\pi}{4} + x \) usando la fórmula de la tangente de la suma de ángulos:
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan(x)}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\tan(x)} \]
Sabiendo que \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \) y que \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5} \), tenemos:
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{1 + \frac{12}{5}}{1 - 1 \cdot \frac{12}{5}} \]
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\frac{5}{5} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{12}{5}} \]
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\frac{17}{5}}{1 - \frac{12}{5}} \]
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\frac{17}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{12}{5}} \]
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{17}{5} \cdot \frac{5}{-7} \]
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{17}{-7} \]
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = -\frac{17}{7} \]
Por lo tanto, el valor de \( \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \) es \( -\frac{17}{7} \).
