Calculation of Solid Volume Using Disk Method
El problema nos pide calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la curva \( y = \frac{10}{x^2} \), el eje \( x \), el eje \( y \) y la línea \( x = 2 \) alrededor del eje \( x \) utilizando el método del disco.
El método de disco se utiliza cuando se gira una región alrededor de un eje y se forma un sólido de revolución. La fórmula para el volumen \( V \) de un disco de radio \( r \) y grosor infinitesimal \( dx \) es:
\[ dV = \pi r^2 dx \]
Para encontrar el volumen del sólido completo, integramos esta expresión entre los límites de integración dados por los valores de \( x \) que acotan la región:
\[ V = \int \pi r(x)^2 dx \]
Aquí, \( r(x) \) es la función que describe la distancia desde el eje de rotación (en este caso, el eje \( x \)) hasta el límite externo de la región que estamos rotando. En este caso, la función es \( r(x) = y = \frac{10}{x^2} \).
Los límites de integración son desde \( x = 1 \) hasta \( x = 2 \), ya que esos son los valores de \( x \) que acotan la región dada.
Sustituimos \( r(x) \) en la fórmula y hacemos la integración entre 1 y 2:
\[ V = \int_1^2 \pi \left(\frac{10}{x^2}\right)^2 dx = \int_1^2 \pi \left(\frac{100}{x^4}\right) dx \]
Integramos la función con respecto a \( x \):
\[ V = \pi \int_1^2 \frac{100}{x^4} dx \]
\[ V = \pi \left[ -\frac{100}{3} \frac{1}{x^3} \right]_1^2 \]
\[ V = \pi \left[ -\frac{100}{3} \left( \frac{1}{2^3} - \frac{1}{1^3} \right) \right] \]
\[ V = \pi \left[ -\frac{100}{3} \left( \frac{1}{8} - 1 \right) \right] \]
\[ V = \pi \left[ -\frac{100}{3} \left( -\frac{7}{8} \right) \right] \]
\[ V = \pi \cdot \frac{100}{3} \cdot \frac{7}{8} \]
\[ V = \pi \cdot \frac{700}{24} \]
\[ V = \frac{700\pi}{24} \]
\[ V = \frac{175\pi}{6} \]
Por lo tanto, el volumen del sólido generado es \( \frac{175\pi}{6} \) unidades cúbicas.
