Example Question - length of ab

Calculation of Length of AB in Tetrahedron

这是一个关于几何问题的问题。 已知：四面体 \(E-ABCD\)，底面 \(ABCD\) 为正方形，点 \(M\) 为边 \(BC\) 的中点，体积为 \(75 cm^3\)。 要求：计算边 \(AB\) 的长 \(x\)。 解： 设边 \(AB\) 的长为 \(x\)，因为 \(M\) 是 \(BC\) 的中点，所以 \(BM = MC = \frac{x}{2}\)。 设 \(EO\)（从顶点 \(E\) 到底面中心 \(O\) 的高）为 \(h\)。 四面体体积的公式是 \(V = \frac{1}{3} \times\) 底面积 \(A \times\) 高 \(h\)。 正方形面积为 \(A = x^2\)，四面体 \(E-ABCD\) 的体积 \(V\) 已知为 \(75 cm^3\)，所以： \[75 = \frac{1}{3} x^2 h\] 要求解边 \(AB\) 的长，我们首先需要确定 \(h\)。 观察图像，我们可以看到四面体 \(E-ABCD\) 的高 \(h\) 是 \(21 cm\)（从图示中看出），所以我们有全部需要的信息，以解决这一问题。 把已知的高 \(h=21 cm\) 代入体积公式： \[75 = \frac{1}{3} x^2 (21)\] 解这个方程，我们得到： \[x^2 = \frac{75 \times 3}{21}\] \[x^2 = \frac{225}{21}\] \[x^2 = \frac{75}{7}\] \[x = \sqrt{\frac{75}{7}}\] \[x = \sqrt{10.7142857}\] \[x \approx 3.27 cm\] 所以，边 \(AB\) 的长度约为 \(3.27 cm\)。