Question - Calculating Volume Using the Disk Method by Rotating a Line Segment around the x-axis
Solution:
Para calcular el volumen del cuerpo de revolución generado al girar el segmento de recta alrededor del eje "x", podemos usar el método de los discos, que es una aplicación de la integración definida. La fórmula general para el volumen V es:\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]Donde $$f(x)$$ es la ecuación de la curva que se rota alrededor del eje x, y [a, b] es el intervalo a lo largo del eje x para el cual estamos encontrando el volumen.En este caso, la ecuación de la recta dada es $$y = 2x + 1$$, y estamos interesados en el intervalo de x = 1 a x = 5.Si giramos esta recta alrededor del eje x, la ecuación de $$f(x)$$ será $$f(x) = 2x + 1$$. Entonces:\[ V = \pi \int_{1}^{5} (2x + 1)^2 \, dx \]Ahora, expandimos el término cuadrado en la integral:\[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \]Nuestra integral entonces queda así:\[ V = \pi \int_{1}^{5} (4x^2 + 4x + 1) \, dx \]Integramos término por término:\[ \int (4x^2) \, dx = \frac{4}{3}x^3 + C \]\[ \int (4x) \, dx = 2x^2 + C \]\[ \int (1) \, dx = x + C \]Sustituimos los límites de integración:\[ V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{1}^{5} \]\[ V = \pi \left[ \left( \frac{4}{3}(5)^3 + 2(5)^2 + 5 \right) - \left( \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1 \right) \right] \]Realizando las operaciones:\[ V = \pi \left[ \left( \frac{4}{3}(125) + 2(25) + 5 \right) - \left( \frac{4}{3}(1) + 2(1) + 1 \right) \right] \]\[ V = \pi \left[ \left( \frac{500}{3} + 50 + 5 \right) - \left( \frac{4}{3} + 2 + 1 \right) \right] \]\[ V = \pi \left[ \left( \frac{500}{3} + 50 + 5 \right) - \left( \frac{7}{3} \right) \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{500}{3} + 50 + 5 - \frac{7}{3} \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{500 - 7}{3} + 50 + 5 \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{493}{3} + 55 \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{493 + 165}{3} \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{658}{3} \right] \]\[ V = \frac{658\pi}{3} \]Ese es el volumen del cono, expresado en unidades cúbicas.
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